В сути вещей

Проблема больше в психологии, нежели в существующих инструментах исследования этого мира. Возьмем, например, предложение вида: А = В + 2. Мы все время пытаемся приравнять две различные вещи (в нашем случае А и В), но они по определению не равны. Но они могут быть равны, если рассматривать еще что-то третье (в нашем случае +2). … Было одним и стало другим при неком условии. Или что тоже и формально: если из В при условии +2 следует только А и ничто иное, то для пары (А, В + 2) верно тождество.

Некто:

Может кто-нибудь прояснит мне суть того, что мы вкладываем в понятие существовать?

Рассел:

Существовать – случай пропозициональной функции, которая истинна, по крайней мере, при одном значении переменной. Булыгин:

По-вашему, существует кто-то, кто является автором теории дескрипции, он единственен и этот автор – Вы, Рассел. Формально, найдется такое значение Х, что оно тождественно А. … У меня акценты смещены иначе. Существует «быть автором» и существует «теория дескрипции». Тогда, если «быть автором» единственным образом (эта единственность выражается «теорией дескрипции» и ничем иным) преобразуется в «быть автором теории дескрипции» – Расселом. … В этом контексте, Рассел – то же, что автор, если (и только если) теории дескрипции, и Рассел существует – то же, что существует автор теории дескрипции.

1.7. Суждения и однозначность

В традиционной логике используются связки «есть», «суть», которые иногда и только в количественном смысле совпадают со связкой «то же самое». Но даже в этом случае (смотри рис. 1) логические обороты типа «если b только d, и если d только b, то b и d равны» отражают лишь то, что b и d равночисленны, но не то, что b – то же самое, что d.

Как уже отмечалось, множество в математике трактуется как m={a, s | b}, где b – то общее, что есть как у «a», так и у «s». И где «a» соответственно «не-s» и «s» соответственно «не-a». Это «b» относится к «d» однозначно, а к «a», «s» неоднозначно. Там, где применяется оборот «все», там отношения заменимы на отношения однозначности. Поэтому, «а» – однозначно «b», «b» однозначно «d». Там же, где применяется оборот «некоторые», отношения сводимы как к неоднозначности, так и, в вырожденном случае, к однозначности. Поэтому, с учетом рисунка (смотри рис. 1), «d» – однозначно «b», «b» – неоднозначно «a» (поскольку «b» относится также и к «s»). И лишь с вводом условий «с» и «p» переходы становятся однозначны. Так, «b» при условии «с» однозначно «a», и «b» при условии «p» однозначно «s». И наоборот. Допустим, что «b» с неотраженным на рисунке «не-b», имеет общее «d». Тогда «d» также неоднозначно. А с учетом того, что «a = a» = «a ? не-a» = «a = не (не-a)», имеем:

1. Asp ? Es(~p). Все S суть P. Следовательно, ни одно S не суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» однозначно «b» ? «a» незначно (не имеет отношений неоднозначности и однозначности) «не-b».

2. Esp ? As(~p). Ни одно S не суть P. Следовательно, все S суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» незначно «не-b» > «a» однозначно «не (не-b)».

1 Isp ? Os(~p). Некоторые S суть P. Следовательно, некоторые S не суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «b» неоднозначно «a» ? не то, что «b» неоднозначно именно «не-a» > «b» неоднозначно не «не-a».

2 Osp ? Is(~p). Некоторые S не суть P. Следовательно, некоторые S суть не-P. С учетом рисунка (смотри рис. 1), не то, что «b» неоднозначно именно «a» ? «b» неоднозначно «не-a».

1 Asp ? Ips. Все S суть P. Следовательно, некоторые P суть S. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» – однозначно «b» ? «b» неоднозначно «a».

2 Esp ? Eps. Ни одно S не суть P. Следовательно, ни одно P не суть S. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «s» незначно «не-b» > «не-b» незначно «s».

3 Isp ? Ips. Некоторые S суть P. Следовательно, некоторые P суть S. Вообще говоря, «b» неоднозначно «a» ? «a» неоднозначно «b».

4 Asp ? E(~p)s. Все S суть P. Следовательно, ни одно не-P не суть S. С учетом рисунка (смотри рис. 1),), «s» – однозначно «b» > «не-b» незначно «s».

5 Esp ? I(~p)s. Ни одно S не суть P. Следовательно, некоторые не-P суть S. С учетом рисунка (смотри рис. 1), «a» незначно «не-b» ? «не (не-b)» неоднозначно «a».

6 Osp ? I(~p)s. Некоторые S не суть P. Следовательно, некоторые не-P суть S. Вообще говоря, не то, что «b» неоднозначно именно «s» ? «b» неоднозначно «не-s» ? «не-s» неоднозначно «b».

Кроме того, то, что «не имеет отношений неоднозначности и однозначности», только потому таковым является, что не известны дополнительные условия, которые делали бы отношения значимыми. Ибо что-то верно или неверно только «при прочих равных условиях». Если их (условия) изменить, возможно, изменится это что-то относительно истинно или неистинно.

1.8 Диалоги. Из переписки

Здравствуйте, Михаил Васильевич!

Мысленный эксперимент! Допустим, как в левой, так и в правой руке держим по карандашу. Допустим, они оба коричневые, имеют одинаковую длину, ширину, и любимый кот на обоих карандашах сделал по царапине.

Вопрос: можно ли между этими карандашами поставить знак равенства? Казалось бы, можно. А вот и нет! Карандаш, расположенный в одном месте не равен карандашу, расположенному в другом месте.

Именно различие в пространстве делает из них два карандаша. Стоит убрать это различие – и эти два карандаша станут одним карандашом!

В этом смысле, карандаш, расположенный, например, в левой руке будет равен карандашу, который расположен в правой руке, если его переместить в правую руку. Карандаш в левой руке, если его переместить в правую руку = карандаш в правой руке. Но при этом «карандаш в левой руке ? карандаш в правой руке».

Здравствуй, Таня!

Теория множеств, по определению, считает два объекта равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это неверно, т. к. два предмета не могут быть равны просто потому, что они должны различаться между собой согласно начального условия, что предметов два.

Другое определение равенства: равенство – тривиальное отношение эквивалентности. Зависимость считается тривиальной, если она не может не выполняться. А эквивалентно то, что взаимооднозначно. Для функции вида «y=2*x», аргументу функции «x=1» однозначно соответствует значение функции «y=2», и значению функции «y=2» однозначно соответствует аргумент функции «x=1». Или, короче, 2 эквивалентно 1. Естественно, что эквиваленция даже с учетом «тривиальности», на роль равенства не подходит.

Эквиваленция попросту никак не оговаривает как именно из аргумента функции «x=1» получается значение функции «y=2» (и ничто иное). Если же это «*2» оговорить, получим отношение равенства.

Именно поэтому будет верным: «если из операнда при воздействии на него оператора следует только образ и ничто иное, то образ – то же самое, что операнд при воздействии на операнд оператора», где образ – то, что получается; операнд – то, из чего получается; оператор – то, благодаря чему из операнда получается только этот образ.

Здравствуй, Таня!

Особого внимания заслуживает логическая эквивалентность. Сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения либо истинны, либо ложны: «(не-А или В) и (А или не-В)», где «А, В» могут принимать значения логического нуля и логической единицы.

Учитывая, что истина и тождество – слова синонимы:

Истина – то же самое, что истина.

Ложь – то же самое, что ложь.

Ложь – не то же самое, что истина.

Истина – не то же самое, что ложь.

Какое отношение имеет логическая эквивалентность к семантике? Ведь никто в здравом уме не скажет, что верблюд – то же самое, что канарейка. Она только в одном: существовать – то же самое, что истина; не существовать – то же самое, что ложь. Никакой иной смысл логическая эквивалентность не несет!

Высказывание «верблюд – то же самое, что канарейка» истинно высказыванию «канарейка – то же самое, что верблюд» и истинно высказыванию «верблюд – не то же самое, что верблюд». И высказывание «верблюд – то же самое, что верблюд» истинно высказыванию «канарейка – то же самое, что канарейка» и истинно высказыванию «верблюд – не то же самое, что не верблюд». А высказывание, например, «верблюд – то же самое, что канарейка» ложно высказыванию «верблюд – то же самое, что верблюд» и ложно высказыванию «канарейка – то же самое, что канарейка».

Думаю, что Гегель о бытии и о небытии думал так: существующее существует («=» = «=»), несуществующее существует («?» = «?»), что вполне согласуется с математикой. Но он мыслил и другую сторону логики – противоречие: существующее не существует («=» ? «=»), несуществующее не существует («?» ? «?»).

Здравствуйте, Владимир!

Ну, что ж, начнем с брадобрея. Более подробно о моем подходе к парадоксам можно ознакомиться в моей статье «С чем идет современная логика в XXI век?». Ее легко найти в Интернете. Начну с того, что я смотрю на парадоксы как на примеры некорректных рассуждений. Все парадоксы я в этом плане не анализировал, но некоторые попытался. В том числе и два варианта парадокса Рассела.

В Брадобрее фишка в том, что отождествляются два разных термина «брить» и «бриться». Первый антирефлексивный, второй – рефлексивный. Указание брадобрею исходит из того, что в языке это различие имеет место. Если же мы, руководимые «свободой мысли», их смешиваем, то получаем парадокс.

Хороший пример того, как склонение одного и того же слова приводит к противоположному значению, шутка Марка Твена: «Нет ничего легче, чем бросить курить, я сам сто раз бросал».

Здравствуйте, Борис Александрович!

Немного детских впечатлений. Лет тридцать назад, еще в школе столкнулся с парадоксом всемогущества и прекрасно помню то удивление, которое этот парадокс у меня тогда вызвал: «может ли бог создать камень, который не сможет поднять»?

Но вернемся к брадобрею, к его неразрешимой проблеме. Вы полагаете, что причина в том, «что отождествляются два разных термина «брить» и «бриться», что «первый антирефлексивный, второй – рефлексивный»».

Действительно, форма глагола «бриться» рефлексивна. Но неопределенная форма «брить» попросту не указывает, кого именно брить. Можно брить как Ваню, так и Маню. От того, кого именно «брить», никак не повлияет на смысл этого «брить». Я хочу сказать, что не вижу никакой разницы: можно брить, в том числе, и себя. Нет никакого парадокса между «брить Ваню, брить Маню, брить себя».

На мой взгляд, или, как Вы говорите, «фишка» в другом. Что говорит нам логика? А то, что закон непротиворечия возлагает ограничения на то, что А не может быть не-А: «А ? не-А». И, следовательно, противоречие есть: «А = не-А», либо «А ? А».