Загадки и диковинки в мире чисел

Можно даже, ради курьеза, с помощью таких цифр-предметов изображать действия над числами – складывать, вычитать, умножать, делить. Вот, например, ряд действий над числами, обозначенными предметами сервировки стола (см. рис.). Вилка, ложка, нож, кувшинчик, чайник, тарелка – все это знаки, заменяющие цифры.

Попробуйте, глядя на эту группу ножей, вилок, посуды и т. п., угадать: какие именно числа здесь обозначены?

С первого взгляда такая задача кажется очень трудной: приходится разгадывать настоящие иероглифы, как сделал некогда француз Шамполион. Но ваша задача гораздо легче: вы ведь знаете, что числа здесь, хотя и обозначены вилками, ножами, ложками и т. п., написаны по десятичной системе счисления, т. е. вам известно, что тарелка, стоящая на втором месте (считая справа), есть цифра десятков, что предмет направо от нее есть цифра единиц, а по левую сторону – цифра сотен. Кроме того, вы знаете, что расположение всех этих предметов имеет определенный смысл, который вытекает из сущности арифметических действий, производимых над обозначенными ими числами. Все это может значительно облегчить вам решение предложенной задачи.

Вот как можно доискаться значения расставленных здесь предметов. Рассматривая первые три ряда на нашем рисунке, вы видите, что «ложка», умноженная на «ложку», дает «нож». А из следующих рядов видно, что «нож» без «ложки» дает «ложку», или что «ложка» + «ложка» = = «ножу». Какая же цифра дает одно и то же и при удвоении и при умножении само на себя? Это может быть только 2, потому что 2 ? 2 = 2 + 2. Таким образом мы узнаем, что «ложка» = 2 и, следовательно, «нож» = 4.

Теперь идем дальше. Какая цифра обозначена вилкой? Попробуем разгадать это, присмотревшись к первым трем рядам, где вилка участвует в умножении, и к рядам III, IV и V, где та же вилка фигурирует в действии вычитания. Из группы вычитания вы видите, что отнимая, в разряде десятков, «вилку» от «ложки», получаем в результате «вилку», т. е. при вычитании два минус «вилка» получается «вилка». Это может быть в двух случаях: либо «вилка» = 1, и тогда 2–1 = 1; либо же «вилка» = 6, и тогда, вычитая 6 из 12 (единица высшего разряда занимается у «чашки»), получаем 6.

Что же выбрать: 1 или 6? Испытаем, годится ли 6 для вилки в других действиях. Обратите внимание на сложение V и VI рядов: «вилка» (т. е. 6) + «чашка» = = «тарелке»: значит, «чашка» должна быть меньше 4 (потому что в рядах VII и VIII «тарелка» минус «вилка» = «чашке»). Но «чашка» не может равняться двойке, так как двойка обозначена уже «ложкой»; не может «чашка» быть и единицей – иначе вычитание IV ряда из III не могло бы дать трехзначного числа в V ряду. Не может, наконец, чашка обозначать и 3 – вот почему: если чашка – 3, то бокальчик (см. ряды IV и V) должен обозначать единицу; потому что 1 + 1 = 2, т. е. «бокальчик» + «бокальчик» = «чашке», убавленной на единицу, которая была занята у него при вычитании в разряде десятков; «бокальчик» же равняться единице не может, потому что тогда тарелка в VII ряду будет обозначать в одном случае цифру 5 («бокальчик» + «нож»), а в другом цифру 6 («вилка» + «чашка»), чего быть не может. Значит, нельзя было допустить, что «вилка» = 6, а надо было принять ее равной единице.

Узнав путем таких – довольно, правда, долгих – поисков, что вилка обозначает цифру 1, мы дальше уже идем более уверенно и быстро. Из действия вычитания в III и IV рядах видим, что чашка обозначает либо 6, либо 8. Но 8 приходится отвергнуть, потому что тогда вышло бы, что «бокальчик» = 4, а мы знаем, что цифра 4 обозначена ножом. Итак, чашка обозначает цифру 6, а следовательно, бокальчик – цифру 3.

Какая же цифра обозначена кувшинчиком в I ряду? Это легко узнать, раз нам известно произведение (III ряд, 624) и один из множителей (II ряд, 12). Разделив 624 на 12, получим 52. Следовательно, «кувшинчик» = 5.

Значение тарелки определяется просто: в VII ряду «тарелка» = «вилке» + «чашка» = «бокальчику» + + «нож»; т. е. «тарелка» =1 + 6 = 3 + 4 = 7.

Остается разгадать цифровое значение чайника и сахарницы в VII ряду. Так как для цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 предметы уже найдены, то остается выбирать только между 8, 9 и 0. Подставим в действие деления, изображенное в последних трех рядах[5 - Расположение чисел здесь такое, какое принято в Англии и Америке: частное и делитель пишутся по обе стороны делимого.], соответствующие цифры вместо предметов. Получим такое расположение (буквами ни с обозначены «чайник» и «сахарница»):

Число 712, мы видим, есть произведение двух неизвестных чисел не и ч, которые, конечно, не могут быть ни нулем, ни оканчиваться нулем: значит, ни ч, ни с не есть нуль. Остаются два предположения: ч = 8 и с = 9, или же наоборот ч = 9 и с = 8. Но перемножив 98 на 8, мы не получаем 712; следовательно, чайник обозначает 8, а сахарница 9 (действительно: 89 ? 8 = 712).

Итак, мы разгадали иероглифическую надпись из предметов столовой сервировки:

кувшин = 5

ложка = 2

вилка =1

чашка = 6

бокальчик = 3

чайник = 8

сахарница = 9

тарелка = 7

А весь ряд арифметических действий, изображенный этой оригинальной сервировкой, приобретает такой смысл:

Арифметические ребусы

Арифметические ребусы – занимательная игра американских школьников, у нас пока еще совершенно неизвестная[6 - Английское название игры «div-a-let» – сокращение от «division by letter» – деление буквами.]. Она состоит в отгадывании задуманного слова посредством решения задачи вроде той, какую мы сейчас решили в статье «Арифметика за завтраком». Загадывающий задумывает слово, состоящее из 10 неповторяющихся букв – например, «трудолюбие», «специально», «просвещать». Приняв буквы задуманного слова за цифры, загадывающий изображает посредством этих букв какой-нибудь случай деления. Если задумано слово «просвещать», то можно взять такой пример деления:

Можно взять и другие слова для делимого и делителя – например:

Буквенное изображение того или иного случая деления вручается отгадчику, который и должен по этому бессмысленному, казалось бы, набору букв угадать задуманное слово. Как в подобных случаях следует доискиваться числового значения букв, – читатель уже знает: мы объяснили это, когда решали задачу, предложенную в предыдущей статье. При некотором терпении всегда можно успешно разгадывать эти арифметические ребусы, если только пример достаточно длинен и дает необходимый материал для догадок и испытаний. Если же выбраны слова, дающие чересчур короткий случай деления, например:

– то разгадывание очень трудно. В подобных случаях надо просить загадывающего продолжить деление до сотых или тысячных долей, т. е. получить в частном еще 2 или 3 десятичных знака. Вот пример деления до сотых долей:

Если бы в этом случае мы остановились на целом частном (со), отгадка задуманного слова едва ли была бы возможна.

Для читателя, который пожелал бы испытать свои силы в разрешении подобных арифметических ребусов, привожу еще несколько примеров:

По этим образцам читатель сможет самостоятельно подыскать множество других примеров.

Десятичная система в книжных шкафах

Особенность десятичной системы счисления остроумно используется даже в области, где с первого взгляда этого и ожидать не приходится, – именно, при распределении книг в библиотеке.

Обычно, желая указать библиотекарю номер нужной вам книги, вы просите дать вам каталог и предварительно справляетесь в нем, – потому что в каждом книгохранилище существует обыкновенно своя нумерация книг. Однако имеется и такая система распределения книг по номерам, при которой одна и та же книга должна иметь одинаковый номер во всякой библиотеке. Это так называемая десятичная система классификации книг.

Система эта – к сожалению, принятая пока еще далеко не всюду, – чрезвычайно удобна и весьма не сложна. Сущность ее состоит в том, что каждая отрасль знания обозначается определенным числом и притом так, что цифровой состав этого числа сам говорит о месте данного предмета в общей системе знаний.

Книги прежде всего разбиваются на десять обширных классов, обозначенных цифрами от 0 до 9.

0. Сочинения общего характера.

1. Философия.

2. Религия.

3. Общественные науки.

4. Филология.

5. Физико-математические и естественные науки.

6. Прикладные науки.

7. Изящные искусства.

8. Литература.

9. История и география.

В обозначении номера книги по этой системе первая цифра прямо указывает на ее принадлежность к определенному классу из перечисленных выше: каждая книга по философии имеет номер, начинающийся с 1, по математике – с 5, по технике – с 6. И наоборот, если номер книги начинается, например, с 4, то мы, не раскрывая книги, можем утверждать, что перед нами сочинение из области языкознания.

Далее, каждый из десяти перечисленных классов книг подразделяется на 10 главных отделов, тоже отмеченных цифрами; эти цифры ставят в обозначении номера на втором месте. Так, 5-й класс, включающий физико-математические и естественные книги, разделяется на следующие отделы:

50. Общие сочинения по физико-математическим и естественным наукам.

51. Математика.

52. Астрономия. Геодезия.

53. Физика. Механика.