Загадки и диковинки в мире чисел

5 ? 4

8 ? 5

6 ? 4

Затем исследователи «камней преткновения» Пифагоровой таблицы сделали такой же тщательный опрос о том, какие из 10-ти столбцов в таблице умножения являются труднейшими для усвоения. И тут ответы получились однообразные. А именно, всего труднее оказались случаи умножения на 7, затем на 8. Третье место занимает умножение на 9, четвертое – умножение на 6. Напротив, легкими строками единодушно считаются, – как и следовало ожидать – прежде всего случаи умножения на 2; затем – на 3, на 5 и на 4.

Результаты этих психологических изысканий, произведенных среди германских школьников и учителей[8 - Максом Дюрингом («Zeitschr. f. p?d. Psychol.», 1912).], по всей вероятности, совпадают с выводами личного опыта большинства читателей. Все, без сомнения, согласятся, что именно случаи умножения на 7, 8 и 9 были и остаются наиболее трудными для усвоения и что труднейшие из всех – строки: 8 ? 7,9 ? 7, 9 ? 8,7 ? 6 и 9 ? 6; спор может идти разве лишь о порядке этих случаев по степени их трудности. Да и будучи взрослыми, победоносно преодолев все арифметические затруднения, мы порою запинаемся именно на этих случаях умножения, когда нам приходится вычислять наспех или с усталой головой; не доверяя памяти, мы стараемся проверить результат окольным путем или спрашиваем подтверждения у других: «Семью восемь – пятьдесят шесть?»

Очевидно, затруднения эти не случайны, раз они повторяются с таким постоянством. Чем же они объясняются?

Причин несколько, и все они коренятся в тех бессознательных приемах, которыми мы обычно пользуемся при запоминании чисел. В тех случаях умножения, которые мы считаем «легкими», нам оказывает поддержку какой-нибудь вспомогательный прием (хотя обычно мы об этом и не подозреваем). Например, умножение на 2 мы бессознательно заменяем более знакомым нам действием сложения: 4 ? 2 = 4 + 4. Часто запоминанию помогает созвучие: «пятью пять – двадцать пять», «шестью шесть – тридцать шесть», «шестью восемь – сорок восемь». Рифмованные строки всегда легче запоминаются, особенно в молодом возрасте; недаром в старинных грамматиках, для облегчения запоминания, составлялись стихотворные бессмыслицы даже из предлогов и наречий.

Все обстоятельства, облегчающие запоминание чисел Пифагоровой таблицы, было бы долго перечислять, тем более, что они еще не установлены бесспорно. Почему строка 9x9 = 81 затверживается легче, чем 7 ? 8 или 8 ? 9? Вероятно, здесь помогает характерный узор числа 81: кривая восьмерка и рядом – прямая единица. Немалую роль играют и такие признаки, как цифра 5 в конце всех чисел, полученных от умножения на это число. Иные случаи легко запоминаются благодаря их частому применению в жизни (4 ? 7 – четыре недели).

Особенная трудность тех пяти случаев умножения, которые при опросе сосредоточили на себе всего больше голосов, заключается именно в том, что к ним не применимо ни одно из перечисленных условий, облегчающих запоминание. Строки

8 ? 7 = 56, 9 ? 7 = 63, 9 ? 8 = 72, 7 ? 6 = 42, 9 ? 6 = 54

трудны и потому, что реже других встречаются в житейском обиходе, и потому, что не звучат созвучно, и потому, что не дают опоры глазу каким-либо характерным признаком. То, что строки эти состоят из четырех различных, но близких цифр (8, 7, 6, 5), также затрудняет запоминание. Наконец, такие сходные результаты, как 56 и 54, легко смешиваются и требуют для отчетливого различения особого напряжения. В подобных неуловимых особенностях некоторых строк таблицы умножения и коренится причина, превращающая их в неизменные камни преткновения для всякого, затверживающего эту таблицу.

Умножение с помощью пальцев

Чтобы облегчить усвоение таблицы умножения, можно прибегнуть к пальцам наших рук: пользуясь ими как своего рода счетной машиной, мы можем автоматически получать произведения, начиная от 6 ? 6 и кончая 15 ? 15. Знать наизусть нужно здесь лишь табличку умножения до 5 ? 5 и, конечно, еще самый прием умножения на пальцах.

Вот в чем состоит этот старинный способ, которым и теперь еще часто пользуются простолюдины в Сибири, на Украине, в глухих углах Лифляндии и с которым не мешало бы знакомить всех школьников при прохождении умножения. Пусть требуется умножить 7 ? 9. Загибаем на одной руке столько пальцев, на сколько 7 больше 5, а на другой – столько, на сколько 9 больше 5, – короче, загибаем избыток множителей над 5. Итак:

Теперь сложите число загнутых пальцев (2 + 4 = 6), к результату припишите нуль и прибавьте произведение незагнутых (3 ? 1 = 3). Получаем 63.

Еще пример – 6 ? 8:

Способ, как видите, при своей простоте едва ли может затруднить даже самого юного математика; зная твердо первую часть Пифагоровой таблицы, свободную от «камней преткновения», можно этим приемом уже без особых усилий овладеть остальною, более трудною частью ее.

Цыфиркин из «Недоросля», обучавший Митрофанушку счетной премудрости, был, без сомнения, знаком с способом умножения на пальцах, и надо думать, старался с его помощью облегчить своему неспособному воспитаннику проникновение в тайны Пифагоровой таблицы. Сам же Цыфиркин мог узнать об этом умножении из «Арифметики» Магницкого, где оно описано в следующих выражениях:

«Ин способ к твержению таблицы, по перстом ручным сице.

«Аще хощеши ведати колико будет 7 ? 7 и ты причти к перстом левыя руки от правыя 2, и станет 7; такожде и к перстом правыя руки от левыя, чтобы стало 7-же: и сложи причтенные оные персты обоих рук по 2, и будут значити 40: достальные же обоих рук, сиречь от правыя

3 и от левыя 3: умножи их между собою и будет 9, их же приложи к 40 и будет 7 ? 7 = 49. Тако и о прочих».

На чем же основан этот любопытный счетный прием? Мы поймем это, если изобразим его в общем виде. Маленькая экскурсия в область «общей арифметики», т. е. алгебры, убедит нас прежде всего, что этот способ должен давать правильные результаты во всех случаях от 6 ? 6 до 10 ? 10. Каждое число, большее пяти, мы можем представить в таком виде:

5 + а, 5 + b или 5 + с и т. п.

Во всех этих выражениях буквами а, Ь, с обозначены избытки числа над 5. Если мы имеем дело только с числами не свыше 10, то а, Ь, с меньше 5. Произведение двух чисел больших пяти, в таком обозначении, изобразится следующим образом:

(5 + а) ? (5 + b)

или, – так как в алгебре знака умножения в подобных случаях не пишут, —

(5 + а) (5 + b).

А что мы делаем, когда умножаем с помощью пальцев? Загибаем на одной руке а пальцев, на другой – Ь, оставляя незагнутыми остальные пальцы, т. е. на одной руке (5 – а), на другой (5 – Ь) пальцев. Затем складываем а + b и получаем цифру десятков, т. е. число

10 (а + Ь).

К нему прибавляем произведение чисел на загнутых пальцах, т. е.

(5 – а) (5-Ь).

И следовательно, в результате получаем:

10 (а + b) + (5 – а) (5-Ь).

Если выполним умножения, обозначенные скобками, мы будем иметь:

10а + 10b + 25 – 5а – 5b + ab.

Но так как 10а – 5а = 5а, а 10b – 5b = 5b, то строка упрощается и получает вид:

25 + 5а + 5b + ab,

т. е. то же самое, что получилось бы от непосредственного умножения данных нам множителей (5 + а) и (5 + Ь):

(5 + а)(5 + Ь) = 25 + 5а + 5b + ab.

Короче, все действия на пальцах можно представить в общем виде так:

А это выражение, мы уже знаем, равно (5 + а) (5 + Ь).

Мы сказали в самом начале статьи, что умножение на пальцах можно выполнять до 15 ? 15. Как же

это делается? Несколько иначе, чем умножение до 10 ? 10. Пусть требуется умножить 12 ? 14. Загибаем на руках избыток множителей над 10 (а не над 5, как раньше), т. е. на одной руке 2 пальца, на другой – 4. Складываем 2 + 4, приписываем нуль, прибавляем произведение тех же чисел 2 и 4 (а не чисел незагнутых пальцев) и, кроме того, во всех случаях прибавляем 100. Имеем:

12 ? 14 = 100 + (2 + 4) 10 + 2 ? 4 = 168.

Еще пример —11 ? 13:

На чем основан этот прием? Обратимся снова к алгебре. Все случаи подобного умножения можно в общем виде изобразить так:

(10 + а) ? (10 + Ь),

где а и b – числа, меньшие 5, – означают, сколько загнуто пальцев. Выполнив умножение по общим правилам, получим:

(10 + а) (10 + Ь) = 100 + 10 (а + b) + ab.

Из этой строки ясна правильность способа: сто + + сумма загнутых пальцев с приписанным нулем + произведение загнутых пальцев.