Живая математика. Занимательные задачи для любознательных умов

– Лечить не лечит, а деньги удваивает. Положишь под него кошель с деньгами, досчитаешь до ста – и готово: деньги, какие были в кошельке, удвоились. Такое свойство имеет. Замечательный пень!

– Вот бы мне испробовать, – мечтательно сказал крестьянин.

– Это можно. Отчего же? Заплатить только надо.

– Кому платить? И много ли?

– Тому платить, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор.

Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке денег мало, старик согласился получать после каждого удвоения по 1 руб. 20 коп. На том и порешили.

Старик повёл крестьянина в глубь леса, долго бродил с ним и наконец разыскал в кустах старый, покрытый мохом еловый пень. Взяв из рук крестьянина кошелёк, он засунул его между корнями пня. Досчитали до ста. Старик снова стал шарить и возиться у основания пня, наконец извлёк оттуда кошелёк и подал крестьянину.

Заглянул крестьянин в кошелёк, и что же? – деньги в самом деле удвоились! Отсчитал из них старику обещанные 1 руб. 20 коп. и попросил засунуть кошелёк вторично под чудодейственный пень.

Рис. 5. Старик повёл крестьянина в глубь леса

Снова досчитали до ста, снова старик стал возиться в кустах у пня, и снова совершилось диво: деньги в кошельке удвоились. Старик вторично получил из кошелька обусловленные 1 руб. 20 коп.

В третий раз спрятали кошель под пень. Деньги удвоились и на этот раз. Но когда крестьянин уплатил старику обещанное вознаграждение, в кошельке не осталось больше ни одной копейки. Бедняга потерял на этой комбинации все свои деньги. Удваивать дальше было уже нечего, и крестьянин уныло побрёл из лесу.

Секрет волшебного удвоения денег вам, конечно, ясен: старик недаром, отыскивая кошелёк, мешкал в зарослях у пня. Но можете ли вы ответить на другой вопрос: сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнём?

11. Задача о декабре

– Я, товарищи, языковед, от всякой математики далёк, – начал пожилой человек, которому пришёл черёд задавать головоломку. – Не ждите от меня поэтому математической задачи. Могу только предложить вопрос из знакомой мне области. Разрешите задать календарную головоломку?

– Просим!

– Двенадцатый месяц называется у нас «декабрь». А вы знаете, что, собственно, значит «декабрь»? Слово это происходит от греческого слова «дека» – десять, отсюда также слова «декалитр» – 10 литров, «декада» – 10 дней и др. Выходит, что месяц декабрь носит название «десятый». Чем объяснить такое несоответствие?

– Ну, теперь осталась только одна головоломка, – произнёс председатель.

12. Арифметический фокус

– Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет на бумажке, тайно от меня, любое трёхзначное число.

– Могут быть и нули в этом числе?

– Не ставлю никаких ограничений. Любое трёхзначное число, какое пожелаете.

– Написал. Что теперь?

– Припишите к нему это же число ещё раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.

– Есть. Шестизначное число.

– Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на 7.

– Легко сказать: разделить на 7! Может, и не разделится.

– Не беспокойтесь, поделится без остатка.

– Числа не знаете, а уверены, что поделится.

– Сначала разделите, потом будем говорить.

– На ваше счастье, разделилось.

– Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.

– Думаете, опять повезёт – разделится?

– Делите, остатка не получится.

– В самом деле без остатка! Теперь что?

– Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.

– Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится… Ан нет, разделилось нацело. Везёт же вам!

– Дайте мне бумажку с результатом; только сложите её, чтобы я не видел числа.

Не развёртывая листа бумаги, «фокусник» вручил его председателю.

– Извольте получить задуманное вами число. Правильно?

– Совершенно верно! – с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. – Именно это я и задумал… теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.

Решения головоломок 1-12

1. Головоломка с белкой на поляне рассмотрена была полностью раньше. Переходим к следующей.

2. Нельзя считать, как многие делают, что 8 руб. уплачено за 8 поленьев, по 1 руб. за полено. Деньги эти уплачены только за третью часть от 8 поленьев, потому что огнём пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 8 ? 3, то есть в 24 руб., и цена одного полена – 3 руб.

Теперь легко сообразить, сколько причитается каждому. Пятёркиной за её 5 поленьев следует 15 руб.; но она сама воспользовалась плитой на 8 руб.; значит, ей остаётся дополучить ещё 15 – 8, то есть 7 руб. Тройкина за три своих полена должна получить 9 руб., а если вычесть 8 руб., причитающиеся с неё за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 9–8, то есть 1 руб.

Итак, при правильном дележе Пятёркина должна получить 7 руб., Тройкина – 1 руб.

3. На первый вопрос – через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков – мы легко ответим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберутся снова 5 кружков: политический – через 30 двухдневных промежутков, военный – через 20 трёхдневных, фотокружок – через 15 четырёхдневных, шахматный – через 12 пятидневок и хоровой – через 10 шестидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет ещё через 60 дней, то есть уже во втором квартале.

Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий все 5 кружков.

Хлопотливее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы политкружка, то есть числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы военного кружка: 4-й, 10-й и т. д. После того как зачеркнём затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачёркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.

Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно: 2-го, 8-го, 12-го, 14-го, 18-го, 20-го, 24-го и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте – 9.

4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.