Системы счисления

Системы счисления
Дмитрий Кудрец

В книге рассказывается о позиционных и не позиционных системах счисления, приводятся примеры вычислений в разных системах и задания для самостоятельной работы.Книга адресуется учащимся школ, гимназий, лицеев, а также широкому кругу читателей.

Системы счисления

Дмитрий Кудрец

© Дмитрий Кудрец, 2019

ISBN 978-5-4496-4055-0

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Введение

С давних времен человечество сталкивалось с проблемой подсчёта и записи количества собранного урожая, накопленных богатств, и т. д. Каждые народы решали эту проблему по-разному – одни использовали узелки на верёвках, другие – зарубки на палочках, камешки или ракушки.

С возникновением письменности одновременно возникали и развивались новые системы счёта и правила выполнения операций над числами.

Известно множество способов представления чисел. В одних случаях для обозначения чисел использовались буквы алфавита, в других – применялись специальные символы. Такие символы называются цифрами.

Система обозначения, записи и правила операций над числами называется системой счисления или системой счёта.

За историю человечества существовало множество различных систем счисления. Некоторые из них до сих пор используются, другие системы не получили широкого распространения.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Наиболее распространёнными непозиционными системами счисления являются римские числа, греческие числа, старославянская система счета, египетские и вавилонские числа. В таких системах значение числа не зависит от положения цифры в записи.

Самой распространенной позиционной системой счисления является десятичная система (арабские или десятичные числа). Этой системой мы пользуемся в повседневной жизни. В этой системе значение числа зависит от положения цифры в записи. Например, в записи числа 152 в десятичной системе цифра 5 – обозначает число десятков. Если переставить цифры местами, то изменится и числовое значение. Так в записи 125 – цифра пять будет обозначать число единиц.

Существовали также и мультипликативные системы счисления, которые несут в себе признаки как непозиционных, так и позиционных систем. Примером таких систем являются китайские числа.

Непозиционные системы счисления

В самой простейшей системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака (единицы), которую можно изобразить в виде палочки, кружочка или любой другой фигуры.

Числа в этой системе будут записываться примерно так:

Такая система счисления в основном использовалась народами, не имеющими письменности. Иногда подобной системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками или точками в тетради количество проданных товаров.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Запись больших чисел получается очень длинной и неудобной. С течением времени возникли другие, более удобные, системы счисления.

В непозиционной системе счисления абсолютно неважно, где стоит цифра – на первом или последнем месте. Для определения значения числа нужно сложить (или отнять) все числовые значения. Арифметические действия в непозиционных системах счисления очень неудобны и сложны.

Для обозначения чисел многие народы использовали существующие алфавиты. Такие системы счисления называются алфавитными. Алфавитные системы счисления использовались в Древней Греции, Руси, Риме.

Древние египтяне, Ацтеки и племена Майя для записи чисел использовали специальные символы (цифры). Разные цифры обозначались различными символами. Такие системы называются аддитивными.

Несмотря на то, что непозиционные системы счисления использовались человечеством на протяжении длительного периода, они были далеки от совершенства и имели ряд существенных недостатков: с их помощью нельзя было представлять дробные и отрицательные числа; возникали проблемы при записи очень больших чисел и самый главный недостаток – сложность выполнения арифметических операций.

Римские числа

Достоверных сведений о происхождении римских цифр нет. Скорее всего, эти цифры были заимствованы римлянами у этрусков или других народов.

Числа в римской системе счисления обозначают буквами латинского алфавита I, V, X, L, C, D и M.

Такие обозначения частично произошли от рисунков, изображавших некогда соответствующие числительные (I – палец, V – пятерня с расставленными пальцами, X – две пятерни), а частично являются сокращениями латинских слов (centum – сто, demimille – пятьсот, mille – тысяча).

В римской записи буква I всегда означает единицу, буква V -пять, буква X —десять, L – 50, С – 100, D – 500, M – 1000.

В числе XXX, записанном в римской системе счисления, цифра X в любом месте означает десять.

В римской системе существовали и свои правила записи чисел: меньшие по разряду цифры идут после больших. Все числовые значения складываются.

Например, CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237

Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание.

Исключения составляют числа 9 (IX), 90 (XL), 900 (CM) – в этих числах стоящая слева цифра отнимается от следующей за ней цифры.

Например, число 3277 в римской системе записывается так:

МММССLXXVII=1000+1000+1000+100+100+50+10+10+5+2

Также существовало правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры. Такая комбинация заменяется комбинацией цифр с вычитанием от большей меньшей, причем меньшая цифра пишется слева.

Например:

XXXX=XC (50 – 10);

IIII=IV (5 – 1);

CCCC=CD (500 – 100).

Такая система записи чисел существовала в Италии до XIII века, а в некоторых странах Западной Европы – до XVI века.

Римская система счисления в настоящее время используется в основном, для наименования знаменательных дат, времени, разделов и глав в книгах.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Запишите римской записью десятичные числа…

Задание 2. Запишите римской записью десятичные числа…

Задание 3. Переведите римские числа в десятичные…

Задание 4. Переведите римские числа в десятичные…