Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Классическая математика использует понятия бесконечно больших и бесконечно малых, которые впервые предложили Ньютон и Лейбниц более 300 лет тому назад. Тогда люди не знали об атомах и элементарных частицах и, исходя из повседневного опыта, думали, что любое тело можно разделить на сколь угодно большое число сколь угодно малых частей. Но из самого факта существования элементарных частиц следует, что обычное деление имеет ограниченную применимость. Мы можем разделить любое макроскопическое тело на десять, тысячу, миллион, но когда мы доходим до атомов и элементарных частиц, дальнейшее деление теряет смысл. Например, энергии электронов на ускорителях в миллионы раз больше чем их энергия покоя, и такие электроны испытывают много столкновений с разными частицами. Если бы электрон можно было разделить, то это уже давно заметили бы.

Из этого простого и хорошо известного соображения казалось бы, сразу следует, что применять классическую математику в квантовой теории по крайней мере неестественно. Поэтому возникает естественный вопрос, не должна ли квантовая теория строиться, исходя из другой математики. Можно сказать, что эта проблема возникает, если считать, что математика должна описывать природу, но если считать математику чисто абстрактной наукой (как считают многие математики), то эта проблема не имеет значения, а главное – чтобы все было строго.

В таком подходе к математике (назовем его подходом Гильберта) цель математики – найти полную и самосогласованную систему аксиом в которой можно будет заключить является ли каждое математическое утверждение правильным или нет. Эта проблема формулируется как проблема Entscheidungsproblem в которой рассматриваются утверждения и ответы "Да" или "Нет" в зависимости от того является ли данное утверждение законным в любой структуре удовлетворяющей аксиомам. Можно ли найти такую систему аксиом?

Классическая математика содержит факты, которые, казалось бы, противоречат здравому смыслу. Например, функция tgx является взаимно-однозначным отображением интервала (-?/2,?/2) на (-?,?). Поэтому часть имеет столько же элементов сколько целое. Другой пример – парадокс Grand Hotel Гильберта. Но в подходе Гильберта эти примеры не считаются противоречивыми. Классическая математика исходит из аксиом, которые принимаются на веру, без доказательства. Казалось бы, раз наука – не религия, то в ней не должно быть утверждений принимаемых на веру. Более того, как следует из теорем Гёделя, любая математика, основанная на множестве всех натуральных чисел, содержит утверждения, которые не могут быть доказаны и такая математика не может доказать, что она самосогласованна.

Я спрашивал у математиков, что раз они утверждают, что исходят из строгой науки, то тогда как же быть с теоремами Гёделя, которые говорят, что стандартная математика нестрогая? Но обычный ответ такой что раз теория, исходящая из аксиом стандартной математики хорошо описывает природу, то такой подход допустим, и вся история человечества считается подтверждением утверждения, что классическая математика в принципе может описать любые природные явления. То есть здесь математики уже отказываются от подхода Гильберта и считают, что математика – это не просто абстрактная наука в духе подхода Гильберта, а наука, которая описывает природу. И, как я уже писал, философия многих физиков еще более дубоголовая. Хотя существующая квантовая физика основана на классической математике, они считают, что даже общепринятая строгость в этой математике необязательна, а главное, чтобы теория описывала эксперимент.

Я спрашивал у физиков и математиков, что раз в природе нет бесконечно малых, то тогда выходит, что производная – нестрогое понятие. Некоторые математики отвечают, что рано или поздно электрон разделят и докажут, что бесконечно малые существуют. Физики обычно согласны, что бесконечно малых в природе нет. Они говорят, что dx/dt надо понимать как ?x/?t где ?x и ?t – малые, но не бесконечно малые. Я им говорю: но ведь ты используешь математику с dx/dt, а не с ?x/?t. А они говорят, что раз математика с производными хорошо работает, то незачем философствовать и придумывать что-то другое (а другой математики они не знают).

История физики показывает, что рано или поздно аргумент, что если что-то хорошо работает, то нечего философствовать, оказывается неправильным. Например, нерелятивистская механика хорошо работает в 99.9…% случаев. Но теперь мы знаем, что это потому что в этих случаях скорости намного меньше скорости света. А в случаях когда скорости сравнимы со скоростью света, нерелятивистская механика не работает. И раз в природе нет бесконечно малых, то рано или поздно проявятся случаи когда классическая математика не работает. Ниже я обсуждаю такие случаи.

Из того факта, что природа состоит из атомов, следует, что стандартные геометрические понятия (например, непрерывные кривые и поверхности) могут работать только в приближении когда размерами атомов пренебрегается. Например, если мы нарисуем на бумаге якобы непрерывную кривую и посмотрим на нее в микроскоп, то увидим, что кривая сильно разрывная так как состоит из атомов.

Исторически сложилось так, что основатели квантовой теории и физики, внесшие большой вклад в эту теорию, хотя и были высококвалифицированными учеными, но их мышление было основано на классической математике, а, скажем, дискретная и конечная математика не входили (и до сих пор не входят) в программу стандартного физического образования.

Если бы классическая математика правильно описывала все эксперименты, то, наверное, можно было примириться с тем что есть теоремы Гёделя и надеяться, что рано или поздно их можно будет обойти и выполнить программу Гильберта. Но развитие квантовой теории показало, что в рамках классической математики возникают большие проблемы в построении того что называют ultimate quantum theory. Главная проблема – что в теории возникают бесконечные выражения. В перенормируемых теориях (например, в квантовой электродинамике, квантовой хромодинамике и электрослабой теории) бесконечности можно устранить, умножая одну сингулярность на другую. Но, например, квантовая гравитация, основанная на квантовой теории поля является неперенормируемой теорией и в ней бесконечности устранить нельзя.

Как пишет знаменитый физик и лауреат Нобелевской премии Weinberg о проблеме бесконечностей в своем учебнике [3]: “Disappointingly this problem appeared with even greater severity in the early days of quantum theory, and although greatly ameliorated by subsequent improvements in the theory, it remains with us to the present day". Название статьи Weinberg [4]: "Living with infinities".

9.6. О квантовой теории поля

Квантовая теория поля (которую в литературе называют QFT – quantum field theory) не имеет аналогов в истории науки т.к., с одной стороны, она описывает некоторые данные с поразительной точностью, а с другой основана на некорректной математике. Эта теория основана на двух главных принципах: 1) она исходит из классической математики; 2) она исходит из понятия квантованного поля на пространстве-времени. В предыдущем разделе я приводил аргументы, что самая фундаментальная квантовая теория не может исходить из 1). А сейчас приведу аргументы, что такая теория также не может исходить из 2).

Что такое классическая теория поля? Рассмотрим, например, классическую электродинамику. Она описывает классическое электромагнитное поле функциями

E(t,x) и B(t,x), где (t,x), – координаты пространства Минковского. В природе никаких пространств нет; есть только частицы и когда их много, то возникает иллюзия, что они в каком-то пространстве. В частности, пространство Минковского – только чисто математическое понятие. Мы знаем, что электромагнитное поле состоит из фотонов. В приближении когда оператор координаты работает, каждый фотон имеет свои координаты. Но в классической электродинамике каждый фотон по отдельности не рассматривается, а все фотоны вместе описываются функциями E(t,x) и B(t,x). Это аналогично тому, что статистическая физика не рассматривает каждую частицу в отдельности, а описывает ансамбли из многих частиц функциями (температурой, давлением и др.) которые не имеют смысл для каждой частицы. Ясно, что такое описание может быть лишь приближенным.

Теперь обсудим QFT. В квантовой теории есть информация о каждой отдельной частице. В частности, в приближении когда оператор координаты работает с хорошей точностью, каждая частица описывается своей координатой. В этом приближении волновая функция системы N частиц описывается волновой функцией ?(x

, x

…x

) и нет координаты x общей для всех частиц.

В учебниках по QFT логика такая: т.к. специальная теория относительности сделана на пространстве Минковского, а группа Пуанкаре является группой преобразований этого пространства, то в квантовой теории преобразования должны описываться представлениями группы Пуанкаре, а значит генераторы таких преобразований должны удовлетворять коммутационным соотношениям алгебры Ли группы Пуанкаре. Такой подход в духе Эрлангенской Программы Феликса Кляйна (Felix Klein).

Здесь есть такая аналогия с ситуацией ОТО. Эрлангенская Программа была предложена еще раньше чем ОТО – в 1872 г., когда квантовой теории не было и в помине. Но, как отмечено выше, с точки зрения квантовой теории, понятие background space не имеет смысла так как нет координаты x общей для всех частиц. Но это понятие по-прежнему широко используется в так наз. фундаментальных квантовых теориях – QFT и string theory.

Мой научный руководитель Леонид Авксентьевич Кондратюк объяснил мне, что логика должна быть противоположная той, которая применяется в духе Эрлангенской Программы. То, что обычно называют генераторами – это как раз и есть основные физические операторы – энергия, импульс, операторы угловых и Лоренцевых угловых моментов. Симметрия Пуанкаре не потому, что есть пространство Минковского (которое является чисто классическим понятием), а потому, что основные физические операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре и поэтому на классическом уровне (и только на этом уровне) возникают преобразования и пространство Минковского.

Т.е., на фундаментальном квантовом уровне симметрия задается не пространством, а алгеброй коммутационных соотношений и на этом уровне никаких пространств и его преобразований нет. Они возникают только в классическом приближении т.к. в этом приближении пространство появляется не как абстрактное пустое пространство, а как пространство событий для тел. Может быть, эта идея неявно есть в статье Дирака [5], но там она не сформулирована так явно как у Леонида Авксентьевича. Когда позже я познакомился со Скиффом Николаевичем Соколовым, то он тоже сказал, что пришел к такой идее.

В QFT элементарные частицы описываются неприводимыми представлениями алгебры Пуанкаре. В таком описании, координат и пространства Минковского вообще нет, а есть только импульсы, угловые моменты и спины. При этом, имеется вероятностная интерпретация так как операторы физических величин являются самосопряженными операторами. Но, как доказано в теории представлений, с математической точки зрения часто имеется соответствие между представлениями некоторой алгебры Ли самосопряженными операторами и унитарными представлениями группы Ли соответствующей этой алгебре.

Но в QFT рассматривается также описание частиц при помощи полевых функций ?(x)= ?(t,x) удовлетворяющих ковариантным уравнениям (Дирака, Клейна-Гордона и др.) на пространстве Минковского. Такие функции возникают из неунитарных представлений группы Пуанкаре индуцированных из неунитарных представлений группы Лоренца, а зависимость таких функций от (t,x) возникает из-за того, что пространство Минковского является фактор-пространством группы Пуанкаре по группе Лоренца. В связи с тем, что такие представления неунитарны, возникает проблема с их вероятностной интерпретацией.

Паули показал, что для уравнений, описывающих поля с полуцелым спином, нет инвариантных подпространств в которых для всех состояний знак энергии одинаковый, а для уравнений, описывающих поля с целым спином нет инвариантных подпространств в которых для всех состояний знак заряда одинаковый. Поэтому неквантованные поля описывающие частицы не имеют физического смысла. Кроме того, так как для полей ?(x) нет вероятностной интерпретации, то координаты x не являются операторами каких-либо физических величин. Большой успех уравнения Дирака в том, что в приближении (v/c)

уравнение описывает с большой точностью тонкие уровни атома водорода. Но, в более высоких приближениях оно не работает. Например, оно не может описать Лэмбовский сдвиг.

Большим событием в физике частиц был результат Дирака, что его уравнение имеет решение как с положительными так и с отрицательными энергиями. Этот факт интерпретировался как существование античастиц и действительно, вскоре был найден позитрон. Но здесь возникают такие противоречия.

Если m – масса частицы, а p – ее импульс, то энергия определяется как ?(p)=(m

+p

)

, причем, с чисто формальной точки зрения, знак корня может быть как положительным так и отрицательным. Но этот знак должен быть одинаковым для всех частиц. Действительно, рассмотрим систему двух частиц, у которых массы одинаковые, а импульсы p

и p

такие, что p

+p

=0. Тогда, если для одной частицы корень взят со знаком плюс, а для другой со знаком минус, то полный 4-импульс системы будет равен нулю, что противоречит эксперименту.

Другим противоречием является следующее. Так как уравнение Дирака линейное, то суперпозиция решений с положительными и отрицательными энергиями тоже является решением, и это соответствует принципу суперпозиции в квантовой теории. Но из требования сохранения заряда, следует, что суперпозиция электронных и позитронных состояний запрещена.

Эти противоречия решают при помощи вторичного квантования. Но тогда возникает такая проблема. Квантованное поле ?(x) является оператором в Фоковском пространстве состоящим из бесконечного числа частиц. Каждая частица имеют свои координаты (в приближении когда операторы таких координат существуют). Поэтому аргумент функции ?(x) не относится ни к какой частице, это просто чисто формальный параметр возникший из вторичного квантования неквантованного поля ?(x). Поэтому аргумент даже нельзя назвать координатой, это просто параметр интегрирования когда лагранжиан записывается как интеграл от полей. То есть в квантовом случае аргумент не имеет физического смысла. Но все равно физики думают, что аргумент имеет смысл координаты (правда, непонятно чего).

В QFT, полевые функции ?(x) входят только в интегралы от Лагранжиана по d

x для S-матрицы, то есть x – это только параметр интегрирования и нет физических величин зависящих от x. Цель QFT – вычислить S-матрицу в импульсном представлении, и все наблюдаемые величины в QFT определяются S-матрицей. Когда S-матрица вычислена, мы можем забыть про x. Это соответствует S-матричной программе Гайзенберга, что в квантовой теории нельзя описывать состояния в каждый момент времени t, а смысл имеет только описание преобразования от бесконечно далекого прошлого t?-? до бесконечно далекого будущего t?+?. Тот факт, что S-матрица вычисляется в импульсном представлении, не означает, что в QFT не может быть координатного описания. Оно имеется в приближении когда для каждой частицы имеется оператор координаты в импульсном представлении.

Суммируя обсуждение в этом и предыдущем параграфах, отметим следующее. QFT покоится на двух китах указанных в 1) и 2). То что 1) не является фундаментальным физическим требованием, отмечено в предыдущем параграфе, а в этом параграфе объяснено, что понятие квантованных полей на background space тоже не является фундаментальным. Понятие background space возникло из классической теории поля, а для квантованных полей оно не имеет физического смысла так как аргумент x в квантованных полях не относится к какой-либо частице и поэтому не имеет физического смысла. Нет физического закона, что S-матрица обязательно должна определяться интегралами по d

x от квантованных полей ?(x). Исторически сложилось так, что QFT с такими интегралами хорошо описывает многие экспериментальные данные, но, как описано ниже, такая теория также имеет фундаментальные проблемы. Поэтому нет причин думать, что ultimate quantum theory будет основана на QFT. Этот вопрос обсуждается в следующем параграфе.

9.7. Успехи и проблемы QFT

Как объяснено выше, теория основанная на 1) и 2) не может быть фундаментальной. Но, кроме этой проблемы, в QFT возникает следующая. Теория основана на локальных квантованных полях, которые перемножаются в одной точке. Как правило, физиков не волнует то, что, как отмечено, например, в книге Боголюбова с соавторами [6], ?(x) является обобщенной функцией, а, как известно из теории таких функций, их нельзя перемножать в одной точке. Но многие физики об этом даже не задумываются и перемножают, чтобы, как они думают, сохранить локальность, хотя, как отмечено выше, x не относится к какой-либо частице и поэтому не имеет физического смысла. В результате получаются плохо определенные выражения, аномалии и расходимости с которыми борются. То есть, сами создали проблемы и теперь с ними борются.

Можно сказать, что идеальная наука не должна исходить из такой математики. Но здесь возникает убийственный аргумент: с такой математикой теоретический результат для магнитных моментов электрона и мюона согласуется с экспериментом с точностью 8 знаков, Лэмбовский сдвиг – с точностью 5 знаков и т.д. Ни в какой области науки такого согласия теории и эксперимента нет.

Эти результаты были получены в квантовой электродинамике (которую в физической литературе называют QED – quantum electrodynamics) в конце 40х годов, и те, кто ее сделали (Feynman, Schwinger, Tomonaga, Bethe, Karplus, Klein, Kroll, Sommerfield и др.) производят впечатление даже не людей, а сверхчеловеков. Но все же, хотя история не знает сослагательного наклонения, позволю себе задать крамольный вопрос: то, что эти потрясающие результаты были получены оказалось хорошо для науки или нет? Во-первых, эти результаты сразу убедили многих, что строгая математика ни к чему, а главное – чтобы хорошо описывался эксперимент. Во-вторых, многие решили, что теперь вся релятивистская квантовая теория может быть сделана по аналогии с QED. Однако, несмотря на потрясающее согласие с экспериментом, эти результаты вряд ли можно считать фундаментальными. Они получены, исходя из того, что постоянная тонкой структуры ? мала (она примерно равна 1/137). Поэтому можно применять теорию возмущений по ?. Результат для аномальных моментов электрона и мюона получается при учете поправок вплоть до ?

включительно. Но в теориях, где константа взаимодействия большая, надо или работать без теории возмущений или вычислять весь ряд теории возмущений, что нереалистично (и к тому же непонятно, сходится ряд или нет).

После такого триумфа физики пытались рассмотреть другие теории по аналогии. В предыдущем параграфе я отметил проблемы с классическим и квантовым полем ?(x), с интерпретацией аргумента этой функции, с уравнением Дирака и т.д. К концу 60х годов возникло мнение, что надо что-то менять. Weiskopf написал, что квантовая теория поля должна быть похоронена со всеми почестями. В 1968 г. вышел 4й том Курса Теоретической Физики, который написали Берестецкий, Лифшиц и Питаевский. В вводной главе они объяснили, что, если объединить квантовую теорию с релятивизмом, то даже координата сама по себе не может быть точно измерена, а в главе II написали: "Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия поля свободных частиц".

Но, несмотря на эти проблемы, QFT восстала из пепла: в 70х годах создали квантовую хромодинамику, в 1981м нашли W и Z бозоны и, наконец, создали Стандартную Модель. В ней, исходя из 20 параметров, описывают многие экспериментальные данные из физики частиц. Модель не решила ни одной принципиальной проблемы QFT. Она по-прежнему исходит из лагранжиана, в котором поля перемножаются в одной точке. Еще когда я учился в ИТЭФе, все знали крылатую фразу К. А. Тер-Мартиросяна, что если теория содержит 25 свободных параметров и описывает 1000 экспериментальных данных, то это хорошая теория. Так что в такой философии Стандартная Модель – большое достижение.

Теперь на дворе 2023й год и можно ли сказать, что есть какой-то прогресс в создании единой теории? Мне кажется, что, опять настал такой период когда, по аналогии с концом 60х, стало ясно, что единая теория не может быть построена на идеях QFT. Была большая шумиха, что теория струн станет TOE. Выше я приводил аргументы, что это очень сомнительно. В духе приведенной выше фразы Бора можно сказать, что теория струн не является достаточно сумасшедшим обобщением QFT. Одна из ее идей такая, что т. к. струнные поля перемножаются не в точке (нульмерный объект), а на струне (одномерный объект), то есть надежда, что сингулярности «размажутся» и с ними можно будет работать. Однако, с точки зрения математики, перемножение на струне тоже не является корректной операцией и в теории струн проблема бесконечностей тоже не решена.