Умножение «треугольником»

Умножение «треугольником»
Геннадий Гончаров

Арифметический метод сложения, вычитания и умножения простых чисел. Название дано по схожести матрицы цифр промежуточных вычислений с треугольной формой. Принцип вычислений данным методом объединяет в себе особенности двух других известных арифметических методов – "столбиком" и "переносом".

Название методу дано по схожести, с треугольной формой, образующейся матрицы цифр промежуточных вычислений. Данным способом можно выполнять сложение, умножение и вычитание чисел. Предлагаемый арифметический метод объединяет в себе особенности двух других известных методов вычисления. "Столбиком", когда действия производятся от разряда "единиц" к большим разрядам, с записью сумм всех промежуточных результатов по ходу основного вычисления (для чего некоторые цифры приходится держать "в уме"). И метода "переноса", когда все промежуточные вычисления записываются построчно, со смещением второго разряда (если он есть) на одну колонку влево, а окончательный результат получается последовательным сложением каждой колонки промежуточных вычислений. Приведём записи вычисления этими методами на примере сложения двух чисел: 6389+5734=12123 (рис.1)

Последовательность действий методом "треугольника" может производиться как слева направо, так и справа налево, с записью сумм промежуточных результатов сразу по ходу основного вычисления. Пример сложения тех же чисел методом "треугольника" (рис.2)

Сложение

Опишем пошагово пример сложения (слева направо)

1. Складываем цифры 6 и5 разряда "тысяч" первого и второго слагаемых. Получаем сумму 11. Правую цифру 1 числа 11 записываем в колонку разряда "тысяч", а левую цифру 1 переносим на один разряд влево и записываем в колонку разряда "десятков тысяч" (рис.3)

2. Складываем цифры 3 и 7 разряда "сотен". Из полученной суммы 10, цифру 0 записываем в колонку разряда "сотен", а цифру 1 переносим на один разряд влево, где уже записана цифра 1 из предыдущего шага вычислений. Складываем их, и полученное число 2 записываем под цифрой 1 в колонке разряда "тысяч" (рис.4)

3. Складываем цифры 8 и 3 разряда "десятков" первого и второго слагаемых. Из полученной суммы 11 правую цифру 1 записываем в колонку разряда "десятков", а левую цифру 1 переносим в колонку разряда "сотен", где уже стоит цифра 0. Складываем их, и полученное число 1 записываем под цифрой 0 в колонке разряда "сотен" (рис.5)

4. Складываем цифры 9 и 4 разряда "единиц" первого и второго слагаемых. Из полученной суммы 13 цифру 3 записываем в колонку разряда "единиц", а цифру 1 переносим на один разряд влево, в колонку разряда "десятков", где нижней стоит цифра 1. Складываем их, и полученное число 2 записываем под цифрой 1 в колонке разряда "десятков" (рис.6)

5. Сносим все нижние цифры каждой колонки в одну строку, получаем окончательную сумму вычисления 12123 (рис.7)

Опишем пошагово пример сложения (справа налево)

1. Складываем цифры 9 и 4 разряда "единиц" первого и второго слагаемых. Из полученной суммы 13 цифру 3 записываем в колонку разряда "единиц", а цифру 1 переносим в колонку разряда "десятков" (рис.8)

2. Складываем цифры 8 и 3 разряда "десятков" первого и второго слагаемых. Полученную сумму 11 складываем с уже записанной в колонке разряда "десятков" единицей. 11+1=12. Из числа 12 цифру 2 записываем ниже в колонку разряда "десятков", а цифру 1 переносим и записываем в колонку разряда "сотен" (рис.9)

3. Складываем цифры 3 и 7 разряда "сотен" первого и второго слагаемых. Полученную сумму 10 складываем с записанной, в колонке промежуточных вычислений разряда "сотен", цифрой 1 и получаем окончательную сумму разряда "сотен" 11. Правую цифру 1 записываем в колонку разряда "сотен", ниже уже записанной из предыдущего вычисления единицы. А левую цифру 1 суммы 11 переносим и записываем в колонку разряда "тысяч" (рис.10)

4.Складываем цифры 6 и 5 разряда "тысяч" первого и второго слагаемых. Полученную сумму 11 складываем с цифрой 1, уже записанной в колонку разряда "тысяч" из предыдущего промежуточного вычисления. Из полученной суммы 12, цифру два записываем в колонку разряда "тысяч" ниже цифры 1, а цифру 1 суммы 12 переносим и записываем в колонку разряда "десятков тысяч" (рис.11)

5. Сносим все нижние цифры каждой колонки в одну строку, получаем окончательную сумму вычисления 12123 (рис.12)

Вычитание

Опишем пошагово пример вычитания (слева направо).

Вычтем из числа 6389 число 5734.

1. Вычитаем из цифры 6 цифру 5. Полученную разность, цифру 1, записываем в колонку разряда "тысяч" (рис.13)

2. Вычитаем из цифры 3 цифру 7. Так как промежуточное уменьшаемое 3 меньше вычитаемого 7, то сначала прибавляем к цифре 3 единицу большего разряда из предыдущего вычисления. Для этого из цифры 1 промежуточного вычисления разряда "тысяч" вычитаем 1 и получаем цифру 0, которую записываем в колонку разряда "тысяч" ниже уже записанной единицы. А прибавляемую цифру 1 разряда "тысяч" переводим в разряд "сотен" в виде цифры 10. Складываем цифры 10 и 3. Получаем промежуточное уменьшаемое число 13 разряда "сотен", которое уже больше промежуточного вычитаемого 7. Вычитаем из 13 7, полученную разность 6 записываем в колонку разряда "сотен" (рис.14)

3. Вычитаем из цифры 8 цифру 3. Полученную разность, цифру 5, записываем в колонку разряда "десятков" (рис.15)

4.Вычитаем из цифры 9 цифру 4. Полученную разность, цифру 5, записываем в колонку разряда "единиц" (рис.16)

5. Сносим в одну строку все нижние цифры промежуточных вычислений. Получаем число 0655 или 655 в виде окончательного результата (рис.17)

Умножение

Принцип записи результатов промежуточных вычислений при умножении методом "треугольника "аналогичен сложению. Приведем описание примера умножения чисел 57 и 89 (слева направо). Ход действий каждого шага вычислений показан стрелками. Каждый разряд, для удобства описания, пронумерован цифрами от 1 до 4 (нижняя строка таблиц).

1.

Умножаем цифру 5 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

1.1

5х8=40. Цифру 0 записываем в третий разряд. Запись начинается с третьего разряда т.к. цифра 5 множителя 57 – основная цифра первого промежуточного этапа вычислений стоит в колонке третьего разряда. Цифру 4(числа 40) переносим на один разряд влево и записываем в колонку четвертого разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления (рис.18)

1.2

5х9=45. Цифру 5 (числа 45) записываем в колонку второго разряда, т.е. смещаемся на один разряд вправо относительно разряда, с которого начинали предыдущий шаг вычислений (третьего разряда). Цифру 4 (числа 45) переносим на один разряд влево уже относительно только что записанной цифры 5 (в третий разряд), где нижней стоит цифра 0, складываем их. Сумму 4 записываем под цифрой 0 третьего разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления (рис.19)

2.

Умножаем вторую цифру 7 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

2.1

7х8=56. Запись начинаем со второго разряда, т.к. цифра 7, основная цифра этого этапа промежуточных вычислений, стоит в этом столбце. Число 56 складываем с цифрой 5, которая стоит нижней в этом разряде (из предыдущих вычислений). Получаем сумму 61. Цифру 1 (числа 61) записываем под цифрой 5 в столбец второго разряда, а цифру 6 переносим в третий разряд таблицы, где уже стоит цифра 4(нижняя в столбце третьего разряда). Складываем их, в сумме получаем число 10. Цифру 0 (числа 10) записываем под цифрой 4 в столбец третьего разряда, а цифру 1 переносим в четвертый разряд и складываем её со стоящей в этом разряде цифрой 4. Сумму 5 записываем под цифрой 4 в столбец четвертого разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления (рис.20)

2.2

7х9=63. Цифру 3 (числа 63) записываем в столбец первого разряда, т.е. смещаемся на один разряд вправо относительно предыдущего шага вычислений (в предыдущем шаге запись начинали со второго разряда, где стоит цифра 7 – основная цифра этого этапа вычислений). Цифру 6 (числа 63) переносим на один разряд влево относительно цифры 3 (во второй разряд), где нижней в столбце стоит цифра 1. Складываем их, в сумме получаем 7. Записываем цифру 7 под цифрой 1 в столбец второго разряда. Окончательное вычисление имеет следующий вид (рис.21)

2.3

Записав нижние цифры каждого столбца в одну строку, получаем итоговый результат вычислений: 5073 (рис.22)

Приведем описание примера умножения чисел 57 на 89 (справа налево).

Ход действий каждого шага вычислений показан стрелками. Каждый разряд, для удобства описания, пронумерован цифрами от 1 до 4 (нижняя строка таблиц).

1.

Умножаем цифру 7 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

1.1

7х9 = 63. Цифру 3 записываем в колонку разряда, обозначенного под номером 1. Запись начинается с того разряда, где стоит цифра 7 множителя 57 – основная цифра первого промежуточного этапа вычислений. Цифру 6, промежуточного произведения 63, переносим на один разряд влево, в колонку под номером 2 (рис.23)

1.2

7х8=56. Запись начинаем с колонки второго разряда, сместившись на один разряд влево относительно начала предыдущего промежуточного вычисления. Из предыдущего вычисления в колонку второго разряда уже была записана цифра 6. Складываем её с произведением текущего вычисления, числом 56. Из полученной суммы 62, цифру 2 записываем в колонку второго разряда, а цифру 6 переносим на один разряд влево и записываем в колонку разряда под номером 3 (рис.24)

2.