Риск-менеджмент. Учебное пособие

, t

.

Доходность портфеля определяется аналогично: r

=(w

-w

)/w

, где w

и w

– начальное и конечное благосостояние потребителя. Отсюда имеем: w

(1+r

)=w

, то есть доходность r

можно трактовать как некоторую эффективную ставку, по которой растет благосостояние.

В теории Марковица делаются следующие предположения:

1) Доходность ценной бумаги – это случайная величина, а значит, доходность портфеля – тоже случайная величина;

2) Инвестор при принятии инвестиционного решения (в какие активы вложить имеющиеся денежные средства на время инвестиционного периода) ориентируется только на ожидаемую доходность (математическое ожидание доходности) и риск, понимаемый как стандартное отклонение доходности портфеля ценных бумаг.

Последнее предположение является очень жестким, так как все статистические свойства случайной величины – доходности – сводятся только к математическому ожиданию и дисперсии (которая является мерой «разброса» данных относительно «среднего»), и инвестиционное решение принимается только на их основе. Таким образом, не учитываются особенности распределения случайной величины.

С точки зрения оценки риска у теории Марковица есть свои достоинства и недостатки.

Достоинства:

1. Если распределения доходности ценных бумаг симметричны и «близки» по форме, то среднеквадратичное отклонение s рассматривается как мера риска, так как отклонения в обе стороны, благоприятную и неблагоприятную, равны.

2. Теория вычислительно проста.

Недостатки теории:

1. Для нормального распределения s – хорошая мера разброса, а для прочих – плохая, риск оценивается неадекватно, с грубым приближением.

2. Эта мера разброса показывает отклонения в обе стороны, а нас интересует риск, то есть мера отклонения только в неблагоприятную сторону.

Рис. 1.

Нарисуем график, где на горизонтальной оси отложим стандартное отклонение s, на вертикальной – доходность r. При условии сделанного предположения для инвестора достаточно знания этих двух величин. Это значит, что портфель можно изобразить точкой, а инвестиционное решение должно приниматься на основании анализа допустимого множества портфелей и предпочтений инвестора.

В теории Марковица обычно считается, что инвестор, во-первых, обладает свойством ненасыщения, то есть таким свойством, что чем больше доходность инвестиционного портфеля, тем ему лучше при прочих равных условиях. Во-вторых, инвестор обладает свойством избегания риска, свойством несклонности к риску.

Бывает три вида инвесторов: склонных к риску, избегающих риска и нейтральных к риску. Рассмотрим честную игру. Бросая монетку, с вероятностью ? мы либо получаем, либо платим одну денежную единицу. Математическое ожидание выигрыша равно нулю (?*(+1)+?*(-1)=0). Для инвестора, несклонного к риску, моральное удовлетворение от выигрыша в одну единицу будет меньше, чем разочарование от проигрыша. Хотя он знает, что в среднем получается ноль, он откажется от игры. Склонный к риску инвестор рассуждает ровно наоборот. Нейтральный к риску скажет, что ему все равно, играть, или не играть.

Для инвесторов, несклонных к риску и обладающим свойством ненасыщения, рассматриваемых в теории Марковица, кривые безразличия выглядят следующим образом: положительно наклоненные и выпуклые вниз.

Кривая безразличия – это множество портфелей, обладающих свойствами доходности и риска, полностью описываемыми величинами r и s, одинаковых для инвестора с точки зрения его предпочтения – инвестиционного выбора. Кривая безразличия положительно наклонена, так как считается, что больший риск должен компенсироваться большей доходностью. Аналогичный подход используется в теории полезности.

Кривые безразличия не пересекаются. Между любыми двумя можно нарисовать третью. Для инвестора лучше, когда наш портфель оказывается левее и выше на приведенном рисунке, потому что при таком смещении либо увеличивается доходность, либо уменьшается риск, либо то и другое одновременно; поэтому кривая безразличия, расположенная левее и выше, предпочтительнее для инвестора.

Пусть:

N – количество активов,

x

, …, x

–доли активов в портфеле,

Тогда доходность портфеля, r

, исходя из определения доходности, есть

Отсюда, очевидно, что ожидаемая доходность портфеля определяется формулой

Соответственно, для s получается, что риск портфеля есть

– коэффициент корреляции между доходностями i-ой и j-ой ценными бумагами.

Таким образом, риск[5 - Здесь, говоря риск, мы рассматриваем дисперсию s

вместо среднеквадратичного отклонения s поскольку это тоже самое для рассматриваемой задачи (*) максимизации доходности при ограниченном уровне риска, так как s

– строго монотонно возрастающая функция s.] портфеля s

будет отличаться от средневзвешенной суммы рисков каждой из входящих в него ценных бумаг на слагаемое

,

содержащее коэффициенты корреляции. Коэффициенты корреляции могут быть как положительны, так и отрицательны; а следовательно, знак числа указанного выше может быть любой.

Таким образом, объединение бумаг в портфель может значительно изменить (уменьшить или увеличить) риск по сравнению со взвешенной суммой рисков бумаг, входящих в портфель (эффект диверсификации).

Посмотрим на рисунок 1. Нарисуем допустимое множество портфелей, т.е. все портфели, которые можно составить из рассматриваемого множества ценных бумаг с заданными характеристиками (ожидаемой доходностью и стандартным отклонением) и заданными коэффициентами корреляции. Обратим внимание, что поскольку x

, …, x