Макрокинетика сушки

В примере с теплопереносом от нагретого шара к жидкости, для интенсификации процесса также достаточно применить перемешивание. Конвективный макроперенос тепла протекает значительно быстрее, чем перенос теплопроводностью.

Макроперенос количества движения происходит, например, при осаждении крупных частиц в турбулентном режиме за счет образования турбулентных завихрений. Движение частицы в этом случае описывается законом Ньютона.

При макропереносе имеет место также и микроперенос, однако интенсивность последнего намного ниже. При движении среды макроперенос, как правило, превалирует по сравнению с микропереносом. Именно поэтому макрокинетика наиболее важна, как определяющая все виды процессов переноса – переноса массы, энергии и количества движения или импульса.

1.5 Перенос массы

Рассмотрим поток вещества J в пространстве (Рис. 1.3). Концентрация вещества С изменяется в пространстве и во времени т. е.

.

Вектор потока вещества между двумя изотермическими поверхностями, расположенными на бесконечно малом расстоянии dn друг от друга перпендикулярен к поверхности в любой точке [6].

Рис. 1.3 Поток вещества в пространстве.

Поток вещества J, отнесенный к единице поверхности S в этом случае будет пропорционален градиенту концентрации:

Это выражение называется 1-м законом Фика. Здесь D – коэффициент диффузии.

Закон молекулярного переноса массы (вещества) для элементарного объема может быть получен следующим образом. Рассмотрим поток вещества через грани элементарного объема.

Расход вещества, обусловленный диффузией вдоль оси х через левую поверхность dy·dz (Рис. 1.4), с учетом закона Фика, составит.

На расстоянии dx, с учетом изменения концентрации, получим ее значение

.

Тогда расход вещества, обусловленный диффузией вдоль оси х через правую грань dy·dz, составит

Таким образом, за счет изменения концентрации вдоль оси х в элементарный объем поступит количество вещества.

Рис. 1.4 К выводу 2-го закона Фика.

Аналогично определяется изменение количество вещества вдоль остальных осей. Суммарное изменение количество вещества, в пересчете на единицу объема, вдоль всех координат должно быть равно изменению его концентрации во времени:

Выражение в скобках в уравнении (1.19) является оператором Лапласа. С учетом его сокращенного обозначения и образования вещества за счет химической реакции при скорости образования r получим для выражения (1.19):

Уравнение (1.20) является следствием закона сохранения массы и 1-го закона Фика и называется 2-м законом Фика. Оно определяет поле концентраций для молекулярной диффузии в рассматриваемой среде.

Для изотропной диффузии уравнение (1.20) может быть записано для изменения вдоль любой оси, например х, в следующем виде:

При переносе массы в движущейся среде имеет место конвективный перенос и перенос за счет молекулярной диффузии. Тогда вместо частной производной концентрации по времени в уравнении (1.20) надо писать полную производную, учитывающую и конвективный перенос. С учетом этого для (1.20) получим:

Уравнение (1.22) определяет поле концентраций с учетом молекулярной и конвективной диффузии. Как следует из этого уравнения, для описания макрокинетики процесса переноса массы необходимо учитывать гидродинамику и поэтому уравнение переноса в движущейся среде (1.22) должно быть дополнено уравнениями движения Навье-Стокса (1.10), определяющими поле скоростей и перенос импульса в движущейся среде.

Необходимо также отметить, что приведенные в данном разделе уравнения применимы для изотермической конвективной и молекулярной диффузии. Влияние изменения температуры описывается при молекулярном и конвективном переносе тепла.

1.6 Перенос тепла

Рассмотрим молекулярный перенос тепла аналогично переносу массы (Рис. 1.3). Температура t в общем случае изменяется как в пространстве, так и во времени т. е.

.

Тогда поток тепла q, отнесенный к единице поверхности S будет пропорционален градиенту температуры в произвольном направлении n:

Это выражение называется законом теплопроводности Фурье. Здесь – коэффициент теплопроводности среды.

Закон молекулярного переноса теплоты для элементарного объема может быть получен аналогичным образом, как и для переноса массы. Тогда суммарное изменение количества тепла вдоль всех 3-х координат элементарного объема, проявляющееся в изменении температуры, равно изменению температуры, вовремя помноженному на произведение теплоемкости с

на плотность ? [6]:

Выражение в скобках в уравнении (1.24) является оператором Лапласа, с учетом его сокращенного обозначения и дополнительного источника тепла qr, например, за счет химической реакции, с введением коэффициента температуропроводности а = / с

?, получим для выражения (1.24):

Уравнение (1.25) является следствием закона Фурье и также называется его именем. Оно определяет поле температур для молекулярного переноса тепла в рассматриваемой среде.

Для одномерной теплопроводности, например, вдоль оси х, уравнение (1.25) может быть записано в следующем виде:

При переносе тепла в движущейся среде имеет место конвективный перенос и перенос за счет молекулярной диффузии. Тогда вместо частной производной температуры по времени в уравнении (1.25) надо писать полную производную, учитывающую и конвективный перенос. С учетом этого для (1.25) получим

Уравнение (1.27) называется уравнением Фурье-Кирхгофа и определяет поле температур с учетом молекулярного и конвективного переноса тепла. Как следует из этого уравнения, для описания макрокинетики процесса теплопереноса необходимо учитывать гидродинамику и уравнение переноса в движущейся среде (1.27) должно быть дополнено уравнениями движения Навье-Стокса (1.10), определяющими поле скоростей в движущейся среде.

1.7 Перенос количества движения

По второму закону Ньютона изменение количества движения в единицу времени (импульс) численно равно силе – уравнение (1.8). В движущемся потоке газа или жидкости под действием массовых и поверхностных сил происходят соударения молекул, что обуславливает перенос количества движения. Баланс сил в движущемся потоке представляет собой закон сохранения количества движения (импульса). На основе баланса сил получена выше система уравнений Навье-Стокса (1.10).

Строго говоря, т. к. система уравнений Навье-Стокса получена на основе закона Ньютона для вязкостного трения (1.9), учитывающего молекулярный перенос количества движения (микроперенос), она применима только для струйчатого, ламинарного движения вязкой жидкости.

Если жидкости отклоняются от закона Ньютона, то их называют неньютоновскими. К ним относятся жидкие полимеры, растворы высокомолекулярных полимеров, суспензии и др.

Макроперенос количества движения обусловлен конвективными токами, турбулентными образованьями, вихрями. Если микроперенос осуществляется только за счет теплового движения молекул, то макроперенос обусловлен не только молекулярным механизмом, но главным образом за счет более быстрого переноса макроколичеств среды. В результате этого в жидкости возникает дополнительное трение. Оно учитывается коэффициентом турбулентной вязкости т. Тогда формула (1.9) примет вид:

Можно показать [6], что в этом случае система уравнений Навье-Стокса формально останется той же (1.10), но вместо ньютоновской вязкости ? необходимо подставить в нее сумму ньютоновской и турбулентной вязкости ?

.

Поле скоростей при микропереносе количества движения определяется при решении системы уравнений Навье-Стокса (1.10), а при макропереносе количества движения определяется из решения системы уравнений Навье-Стокса с учетом турбулентной вязкости. Следует отметить, что если ньютоновская вязкость является величиной постоянной для данной среды, то турбулентная вязкость зависит от масштаба турбулентности и поэтому при ее расчете, возникают определенные трудности.

1.8 Аналогия процессов переноса

Сравнивая выражения для трех видов молекулярного переноса массы (1.18) – закон Фика, переноса тепла (1.23) – закон Фурье и переноса количества движения (1.9) – закон Ньютона, нетрудно заметить, что по форме они абсолютно аналогичны.

.

Здесь эти уравнения дополнены еще одним видом переноса – переносом электричества. Где u – градиент напряжения или электрический потенциал, ? – удельное сопротивление электрического тока.

Имеется очевидное подобие выражений для конвективного переноса массы (1.22), переноса тепла (1.27) – закон Фурье и переноса количества движения (1.10), записанных ниже для одномерного потока: