Макрокинетика сушки

1.11 Подобное преобразование дифференциальных уравнений переноса

Перенос количества движения. Рассмотрим динамическое подобие на примере подобного преобразования уравнения Навье-Стокса (1.10) для одномерного потока (перенос количества движения). В этом случае скорость потока

.

Запишем это уравнение для объекта:

Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:

Чтобы уравнения (1.42) и (1.43) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:

Домножив все члены уравнения (1.44) на kl /kv2, получим безразмерные соотношения:

Эти соотношения после подстановки констант подобия дают выражения соответствующих критериев подобия Фруда, Эйлера, Рейнольдса и гомохнонности. Так для критерия Фруда .

Опуская индексы, получим аналогично и другие критерии:

.

Для обеспечения подобия критерии подобия для объекта и модели должны быть численно одинаковы. Это положение определяет содержание 1-й теоремы подобия.

Так как члены уравнения Навье-Стокса представляют собой сумму удельных сил тяжести, давления, вязкости и инерции, то сравнивая их с выражениями критериев, можно сделать вывод, что критерий Фруда представляет собой отношение силы инерции к силе тяжести, критерий Эйлера – отношение силы давления к силе инерции, критерий Рейнольдса – отношение силы инерции к силе вязкости (учитывает режим движения) и критерий гомохронности – отношение инерционных сил модели и объекта (учитывает нестационарность процесса).

Обычно критерий Эйлера является определяющим и математическое описание явления переноса количества движения в критериальном виде с учетом геометрического критерия Г имеет вид:

Таким образом, решение дифференциальных уравнений описывающих процесс можно представить в виде зависимостями между критериями подобия. Это положение известно как 2-я теорема подобия.

Выше было сказано, что для обеспечения подобия критерии подобия для объекта и модели должны быть численно равны, но тогда согласно зависимости (1.46) и определяющие критерии должны быть равны. Таким образом, для обеспечения подобия достаточно равенства определяющих критериев модели и объекта. Это положение определяет содержание 3-й теоремы подобия.

Положения, устанавливаемые тремя теоремами подобия, справедливы для любого вида переноса. Они используются как для постановки экспериментов, так и для математической их обработки.

Теплоперенос. Критерии теплопереноса выводятся аналогично выводу критериев переноса количества движения. Рассмотрим подобное преобразование уравнения Фурье-Кирхгофа (1.27) для одномерного теплопереноса, когда t = f (x, ?) в отсутствии источников тепла для объекта моделирования (индексы опустим):

Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:

Чтобы уравнения (1.47) и (1.48) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:

Из первого равенства выражения (1.49), подставив значения констант подобия, получим безразмерный комплекс – критерий Фурье, который характеризует изменение теплопереноса теплопроводностью во времени:

Из второго равенства выражения (1.49), подставив значения констант подобия, получим другой безразмерный комплекс – критерий Пекле, который представляет собой отношение теплопереноса за счет движения среды (конвективный) и за счет теплопроводности (молекулярный):

Он аналогичен по форме критерию Рейнольдса, который может быть рассмотрен как отношение скоростей переноса количества движения конвективного и молекулярного.

Поскольку на конвективный теплоперенос влияют условия движения среды и описывающие его дифференциальные уравнения решаются совместно с уравнениями движения потока, в критериальную зависимость, описывающую теплоперенос, должны входить и критерии гидродинамического подобия. Это критерии. Но, Fr, Re и Г. Критерий Эйлера обычно не входит в эту зависимость, т. к. не является определяющим для теплопереноса.

Так как в критерии Fr и Re входит скорость, используется их комбинация – критерий Галилея, не содержащий скорости:

или критерий Архимеда, включающий отношение плотности одной среды и разности плотностей двух сред:

Если разность плотностей вызвана термическим расширением среды (

– коэффициент термического расширения), то:

,

где Т – абсолютная температура.

После подстановки этого соотношения в критерий Архимеда получим критерий Грасгофа:

Для газов

,

тогда критерий Грасгофа примет вид:

При сочетании критерия Ре

с критерием Re получим критерий Прандтля, характеризующий теплофизические свойства среды или соотношение полей скоростей и температур:

Если граничным условием теплопереноса является линейность теплового потока – уравнение (1.23) тогда в сочетании с уравнением (1.29) получим:

Из этого соотношения, переходя к размерным величинам, получим критерий Нуссельта, характеризующий подобие граничных условий:

Критерий Нуссельта рассматривают также как безразмерный коэффициент теплопереноса, поэтому он является определяющим. С учетом рассмотренных критериев перенос тепла можно рассматривать в виде следующей критериальной зависимости:

Для стационарного теплопереноса из зависимости (1.60) исключаются критерии. Но и Fo

, содержащие время.

Критерий Nu является наиболее удобной величиной для расчета молекулярного переноса или переноса в ламинарном движении [10]. В случае развитой турбулентности более удобным оказывается использование критерия Стентона:

Тогда в зависимости (1.61) определяющим критерием вместо Nu будет критерий St

.

Массоперенос. Критерии массопереноса и общая критериальная зависимость выводятся аналогично теплопереносу. Для этого рассмотрим подобное преобразование дифференциального уравнения массопереноса (1.22). Для одномерного потока, когда С = f (x, ?) в отсутствии источников для объекта моделирования запишем (индексы опущены):

Аналогичное уравнение с учетом констант подобия запишем для модели:

Чтобы уравнения (1.62) и (1.63) были идентичны, все множители из констант подобия должны быть равны, тогда:

Из первого равенства выражения (1.64), подставив значения констант подобия, получим безразмерный комплекс – диффузионный критерий Фурье, который характеризует изменение молекулярного массопереноса во времени

Из второго равенства выражения (1.64), подставив значения констант подобия, получим другой безразмерный комплекс – диффузионный критерий Пекле, который представляет собой отношение массопереноса за счет движения среды (конвективный) и за счет молекулярной диффузии (молекулярный)

Он аналогичен по форме критерию Рейнольдса, и тепловому критерию Пекле.

Поскольку на конвективный массоперенос влияют условия движения среды и описывающие его дифференциальные уравнения решаются совместно с уравнениями движения потока, в критериальную зависимость, описывающую массоперенос, должны входить и критерии гидродинамического подобия. Это критерии. Но, Fr, Re и Г. Критерий Эйлера не входит в эту зависимость, т. к. не является определяющим для массопереноса.