Макрокинетика сушки

При сочетании критерия Ре с критерием Re получим критерий Шмидта (в отечественной литературе его часто называют диффузионным критерием Прандтля), характеризующий соотношение молекулярного переноса количества движения и молекулярной диффузии или соотношение полей скоростей и концентраций:

Если граничным условием массопереноса является линейность потока вещества – уравнение (1.18), тогда в соответствии с уравнением (1.32) получим равенство:

Из этого соотношения, переходя к размерным величинам, получим критерий Шервуда (в отечественной литературе его часто называют диффузионным критерием Нуссельта), характеризующий подобие граничных условий при массопереносе:

Критерий Шервуда рассматривают также как безразмерный коэффициент массопереноса, поэтому он является определяющим. С учетом рассмотренных критериев перенос вещества можно рассматривать в виде следующей критериальной зависимости:

Для стационарного массопереноса из зависимости (1.70) исключаются критерии. Но и Fo, содержащие время.

Критерий Sh является наиболее удобной величиной для расчета молекулярного переноса или переноса в ламинарном движении [6]. В случае развитой турбулентности более удобным оказывается использование диффузионного критерия Стентона, т. к. он в этом случае близок к постоянному значению

Тогда в зависимости (1.70) определяющим критерием вместо критерия Sh будет критерий St. Общий вид зависимости при этом сохранится.

1.12 Внешняя и внутренняя задачи

Все процессы переноса количества движения, массы и тепла можно рассматривать в условиях внешней и внутренней задач.

Внешней задачей рассматриваются процессы переноса при обтекании тела потоком, причем размеры потока можно считать бесконечно большими. Роль линейного размера l при этом будет играть размер обтекаемого тела.

Примером внешней задачи при переносе количества движения является движение тела в бесконечной среде. Примером внешней задачи при теплопереносе является внешний теплообмен при обтекании средой горячей трубы. Примером внешней задачи при массопереносе является растворение кристалла при обтекании его потоком жидкости.

Внутренней задачей рассматриваются процессы переноса внутри твердого тела или внутри трубы, аппарата, канала. Роль линейного размера l при этом будет играть внутренний размер тела, трубы, аппарата или канала.

Примером внутренней задачи при переносе количества движения является движение среды (газ, жидкость) в трубе. Примером внутренней задачи при теплопереносе является теплопроводность внутри пластины при ее нагревании или охлаждении. Примером внутренней задачи при массопереносе является изменение влажности пористого материала при обтекании его (сушке) потоком горячего воздуха.

Необходимо отметить, что поскольку условия переноса (граничные условия) во внешней и внутренней задачах различны, решения дифференциальных уравнений и значения критериев для этих задач также будут различными. Так, например, при движении шара в сплошной среде ламинарный режим сохраняется до значения критерия Рейнольдса равном 2, а при движении среды в трубах – до значения 2100 – 2300.

Следует отметить, что явления переноса часто протекают одновременно во внешней и внутренней задаче и очень важно определить, какая из них в наибольшей степени определяет перенос (лимитирует). Примером совместной внешней и внутренней задач при переносе количества движения является движение капли, пузырька в сплошной среде. Внешняя задача – обтекание объекта потоком, а внутренняя задача – циркуляция жидкости (газа) внутри капли (пузырька). Следует отметить, что внутренняя циркуляция может значительно снизить скорость движения тела. Если влияние внешней и внутренней задач при переносе количества движения одного порядка, то говорят о смешанной задаче.

Примером совместной внешней и внутренней задач при теплопереносе является теплопередача через стенку (Рис. 1.5). Здесь внешняя задача – конвективный теплоперенос от среды к стенке, а внутренняя – теплопроводность внутри стенки. Если лимитирует теплопроводность (материал стенки теплоизолирующий), то коэффициент теплопередачи по уравнению (1.31). К , т. е. конвективными сопротивлениями можно пренебречь. Теплопередачу в условиях совместной внешней и внутренней задач характеризует тепловой критерий Био (аналог критерия Нуссельта)

Если в критерии Нуссельта оба параметра ? и относятся к одной среде, то в критерии Био ? – определяет конвективный теплообмен от среды к стенке (или наоборот) – внешняя задача, а параметр / l – определяет теплопроводность стенки – внутренняя задача. Если Bi

0, то лимитирует внешняя задача, если Bi

? ?, то лимитирует внутренняя задача. Если влияние внешней и внутренней задач при теплопередаче одного порядка, то говорят о смешанной задаче передачи тепла.

Примером совместной внешней и внутренней задач при массопереносе является процесс конвективной сушки пористого материала. Изменение влажности пористого материала происходит при его сушке потоком горячего воздуха. Здесь внешняя задача – конвективный массоперенос от среды к материалу, а внутренняя – перенос влаги (массопроводность) внутри материала. Перенос влаги внутри материала может быть учтен коэффициентом диффузии D внутри материала. Если лимитирует массоопроводность, то процесс массопередачи определяет диффузия внутри материала, т. е. конвективным массопереносом можно пренебречь. Массопередачу в условиях совместной внешней и внутренней задач характеризует диффузионный критерий Био (аналог критерия Шервуда)

Однако, если в критерии Шервуда оба параметра и D относятся к одной среде, то в критерии Био – определяет конвективный массооперенос от материала к среде (или наоборот при сорбции) – внешняя задача, а параметр D / l – определяет массопроводность материала – внутренняя задача. Если Bi ? 0 (практически при Bi 0,2), то лимитирует внешняя задача, если Bi ? ? (практически при Bi 50), то лимитирует внутренняя задача. Если значения критерия Био лежат в интервале от 0,2 до 50, то имеет место смешанная задача и влияние обеих внешней и внутренней задач существенно, одного порядка [10].

1.13 Критериальные зависимости стационарного переноса

Перенос количества движения. Рассмотрим примеры стационарного переноса количества движения. Внутренней задачей гидродинамики является описание движения жидкостей и газов в трубах. Для стационарного горизонтального движения в трубах (отсутствуют критерии Фруда и гомохронности) критериальную зависимость (1.46) записывают в виде

где геометрический критерий представляет собой отношение длины L к диаметру d трубы. Функциональную зависимость критерия Рейнольдса называют коэффициентом гидравлического сопротивления в трубах и обозначают

Подставив выражение критерия Эйлера в (1.74), получим уравнение Дарси:

Можно показать [6], что в ламинарном режиме (Re 2100):

а в развитом турбулентном режиме для гладких труб (Re 10000) применяется зависимость Блазиуса:

Для шероховатых труб (? – высота выступов шероховатости) и переходного режима [6] используют зависимости общего вида:

Примером внешней задачи переноса количества движения является стационарное движение сферических частиц в сплошной среде. В критериальной зависимости (1.46) в этом случае отсутствуют критерии Фруда, гомохронности и геометрический, т. к. сферическая частица имеет только один линейный размер – диаметр. Эта зависимость примет вид:

Равномерное движение частиц обусловлено равновесием сил, действующих на частицу – тяжести, архимедовой и сопротивления среды [6]:

где С

– коэффициент лобового сопротивления частицы.

С учетом, что потери давления при обтекании частицы равны отношению силы сопротивления к сечению частицы

получим из (1.79):

Таким образом, движение частицы сводится к зависимости коэффициента лобового сопротивления С

от числа Рейнольдса. В ламинарном режиме (Re 2) движение частицы описывается законом Стокса

,

в переходном (2 Re 500), –

а в турбулентном (500 Re 210

) С

практически не зависит от Re и составляет С

= 0,44.

Теплоперенос. Рассмотрим примеры описания стационарного теплопереноса в трубах и каналах (внутренняя задача) критериальными уравнениями. В этом случае общая критериальная зависимость (1.60), в пренебрежении влиянием силы тяжести, записывают в следующем виде (отсутствуют критерии Грасгофа, Фурье и гомохронности):

Конкретный вид зависимости (1.81) для ламинарного режима найден Левеком [10]:

Для труб большой длины в установившемся ламинарном режиме, при (Реd/L) 20 величина Nu стремится к постоянному значению 3,695 теоретически полученному Нуссельтом.

Для турбулентного течения в трубах (Re 10000) при отношении L/d 50 в литературе используется уравнение:

Для газов последний множитель в уравнении (1.83) равен единице и Pr зависит только от атомности газа. Так для воздуха в этом случае получим:

Для стационарного теплопереноса при обтекании тел (внешняя задача) вид зависимости (1.83) сохраняется. Так при перпендикулярном обтекании коридорных и шахматных пучков труб при Re 1000 используется уравнение:

а для обтекания шахматных пучков труб при Re 1000 применяется уравнение:

Для газов последний множитель в уравнении (1.86) равен единице и Pr зависит только от атомности газа. Для воздуха в этом случае получим: