Путешествие в квантовую механику

Нам известно из эксперимента, что сила Кулона прямо пропорциональна f

(x

) и f

, но обратно пропорциональна f

(x

).

Запишем закон Кулона в той форме, в которой он был получен:

Если величины f

(x

) зависимы друг от друга, такое также нередко бывает, тогда прибегают к сложению зависимых функций вдоль координаты x

, от которой определяется зависимость.

Функции f

(x

) могут носить более сложный математический характер, нежели «степенная» функция. Часто эмпирическим методом невозможно вывести тот или иной закон. Тогда исследователи прибегают к составлению дифференциальных уравнений, например, в частных производных. Решение последних затруднено невысокой производительностью современных компьютеров, и тогда для таких целей используют суперкомпьютеры.

Пришло время ознакомить читателя с третьим разделом этой книги, чтобы иметь представление о технических трудностях определения начальных условий в стационарном и нестационарном уравнениях Шредингера. Конечно, мной не ставится цель объяснить сразу суть уравнения, но в последующих главах мы разберём и это. Здесь продемонстрирован метод квазианалитического решения произвольно заданных дифференциальных уравнений в частных производных.

3. Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

В главе будет рассмотрен квазианалитический подход для решения дифференциальных уравнений в частных производных, который содержит в себе аналитическое описание результата искомой функции и численный метод эволюции её во времени. Подобные численные методы уже существуют, но они чаще всего не являются по своей природе аналитическими, поэтому мне хочется обобщить предыдущие знания с помощью нового подхода.

3.1 Интерполяция рядами Фурье

Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье в одномерном случае. Преобразуем его в качестве набора линейных функций, отображаемых на участке (k?x, (k+1) ?x) вдоль оси x на отрезке (0,R), где ?x – шаг между линейными комбинациями F

, k – это номер вычислительной операции, k?N, а R – координата граничного условия:

Тригонометрический ряд для произвольной дифференцируемой кусочно-линейной функции F (x,y) на отрезках (k? x, (k+1) ?x) для x и (j?y, (j+1) ?y) для y:

Для трёхмерного случая x? (0,R

), y? (0,R

), z? (0,R

), где: R

, R

, R

 – координаты граничных условий:

Так для функций F (x,y,z), F (x,y), F (x) из выбранных систем координат на отрезках (h?x

, (h+1) ?x

), где g – индекс координаты, а h – номер итерации, выстраивается произвольная кривая или поле дифференцируемых произвольных функций.

3.2 Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

Пусть Q?C, что является решением произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Обозначим функции a, b, как вещественную и мнимую часть тождества Q=a+ib соответственно. Для примера квазианалитического метода выберем дифференциальное уравнение, численный метод которого состоит в применении метода Эйлера. Заметим, это не единственный применяемый способ решения, но в рамках данной книги остановимся на нём, как на простом и более наглядном. Общий вид дифференциального уравнения в частных производных выглядит:

ReD и ImD – вещественная и комплексная часть функции D.

Выразим через ряд Фурье решение Q:

Частные производные порядка s по координате x

в D:

Здесь n

и R

 – коэффициенты при координате x

.

В случае расходимости ряда (3.2) применяется следующее преобразование:

Поле для каждой точки ?

Q/?x

строится согласно уравнению (3.3). Затем выполним пересчёт для D (если D нелинейно) таким образом, что каждой выбранной точке на D ставится в соответствие отрезок (h?x

, (h+1) ?x

), как было предложено в разделе «Интерполяция рядами Фурье»:

Рассмотрим частную производную решения по времени:

Вместо Q

подставляется Q из тождества (3.1).