Путешествие в квантовую механику

a

и b

указывают на новую итерацию по времени ?t для решения дифференциального уравнения Q. Тогда:

В этом тождестве имеется общий член exp (i?nx/R

+i?my/R

+i?lz/R

) / (R

R

R

), справедливо, что его можно упустить, следовательно:

Тогда для вещественной части:

для мнимой части уравнения:

В следующей итерации по времени в качестве решения Q подставляется тождество Q

:

Производится переход к уравнению (3.1), пока не будет достигнуто условие V?t> T, здесь T – время от начальных условий до конечного искомого результата, V – количество итераций во времени, ?t – величина шага по времени.

3.3 Частный случай решения

В предыдущем подразделе был разобран более общий случай решения дифференциального уравнения на комплексной плоскости. Условимся рассматривать линейные дифференциальные уравнения для частного случая решения. Когда заданы граничные условия Q (0,t) =0 и Q (R,t) =0 в одномерной системе координат, тогда в вычислениях для частного случая применяется подход вещественных значений Q?R, тогда выражение (3*) примет вид:

Тождество (3.1) преобразуется к виду:

Для операции дифференцирования выражение (3.3) выглядит:

для всех s – чётных. p – индекс координаты.

Выражение для функции D преобразуется:

Решение для новой итерации (3.5) преобразуется к виду:

Как видно из выражения (3.6), коэффициенты ряда Фурье следующей итерации легко выражаются через коэффициенты ряда Фурье предыдущей итерации в случае чётного коэффициента s.

Уравнение Шредингера с постоянной потенциальной энергией является линейным, с чётным коэффициентом дифференцирования s, следовательно уравнение может иметь подобное квазианалитическое решение. Более того, если заменить решение на Q=? (t) ? (x) ? (y) ? (z), тогда уравнение Шредингера разрешимо относительно ? (t). Следовательно, для постоянной потенциальной энергии U:

Аналитическое решение для волновой функции:

Коэффициент C

определяется из тождества ограниченности вероятности

под обозначением ?

понимается комплексно-сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности появления частицы в точке с координатами (x,y,z) называют соотношение ??

.

Следовательно:

n,m,l – значения, соответствующие квантовым числам расположения электрона на энергетических уровнях.

Постоянство потенциальной энергии не такое редкое явление в расчётах. Например, по закону Кулона для энергий рассчитывают строение молекулярных структур. Структура стабильна при локально минимальной сумме энергий ?

?

U

всех кулоновских взаимодействий, описываемых тождеством:

Волновая функция ? – комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Сама волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается плотности вероятности.

Приведённый в главе ниже подход к некоторым дифференциальным уравнениям с помощью метода общего аналитического решения уравнения Шредингера для произвольной функции потенциальной энергии U (x,y,z) не так бесполезен, как может показаться на первый взгляд. Метод следующей главы способен описать большинство явлений квантовой механики и дать объяснение редукции Фон Неймана (коллапса волновой функции).

4. К аналитическому решению уравнения Шредингера в R

В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения, не поддающиеся единственному аналитическому решению. В поиске общего аналитического решения дифференциального уравнения разбирается уравнение Шредингера в декартовой системе координат, хотя метод и является вариационным, но он вполне бы себе мог подойти для исследования других обыкновенных и в частных производных уравнений.

4.1 Уравнение Шрёдингера

Во второй главе было выведено уравнение Шредингера. Обобщим его, записав в следующей форме:

Волновая функция ? выражена семейством функций. Под ? обозначают ?

/?x

+?

/?y

+?

/?z

…, под ?

обозначают ?/?t, под a=h