Свободная воля и законы природы

Доказательство я проведу по шагам.

Шаг 1. Возьмем простое и очевидное равенство:

1+1=1+1

Шаг 2. Прибавим в левой части равенства 1 к первому слагаемому, а в правой части равенства прибавим 1 ко второму слагаемому. В обоих случаях сумма увеличится на 1, это следует из аксиомы (3). А из аксиомы (2) следует, что равенство при этом не нарушится:

(1+1)+1=1+(1+1),

т.е. 2+1=1+2

Будем повторять эту операцию и получать равенства:

3+1=1+3

4+1=1+4 и т.д., пока не получим равенство

A+1=1+A Аксиома (1) ручается за то, что это обязательно произойдет.

Шаг 3. Прибавим в левой части полученного в Шаге 2 равенства

A+1=1+A

единицу ко второму слагаемому, а в правой части этого равенства прибавим 1 к первому слагаемому. В обоих случаях сумма увеличится на 1, это следует из аксиомы (3). А из аксиомы (2) следует, что равенство при этом не нарушится:

A+(1+1)=(1+1)+A

т.е. A+2=2+A

Будем повторять эту операцию и получать равенства:

A+3=3+A

A+4=4+A и т.д., пока не получим равенство

A+B=B+A Аксиома (1) ручается за то, что это обязательно произойдет.

Таким образом, теорема A+B=B+A полностью доказана.

7.5.

––

Что важнее: содержание утверждения или его формулировка?

––

Вы может быть удивляетесь, к чему я все это горожу? А вот к чему. В произведениях Канта встречаются такие утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Да и вообще это не редкость. Много есть утверждений вроде бы очевидных, но которые никак не удается доказать. Ну, например, первое, что пришло в голову: наше пространство 3-х мерное, имеет длину, ширину и высоту, положение любой точки в выбранной системе отсчета можно описать всего тремя числами, т.е. координатами X, Y, Z. А как логически доказать, что именно 3-х чисел для этого достаточно, а не, скажем, 4-х или 5-ти и т.д.? Никак не удается это доказать. И таких примеров тьма. Можно, конечно, списать эту недоказуемость на дефицит ума, на недостаточное развитие науки: дескать, наука до этого еще не дошла, но когда-нибудь дойдет. Но во многих случаях дело бывает совсем в другом. Многие вроде бы очевидно истинные утверждения не удается доказать просто потому, что они, вообще говоря, неверны, точнее, не везде верны. Почему же их бывает невозможно и опровергнуть? Потому что они все-таки где-то могут быть верны.

Поясню свою мысль. Надо различать содержание утверждения, т.е. реальные факты, на которых оно основано, от конкретной формулировки утверждения. Формулировка имеет такое роковое значение, о котором человек обычно даже не подозревает. Дело в том, что математика и математическая логика – универсальные науки, действительные для всех миров, как существующих, так и всего лишь возможных. (При этом надо иметь в виду, что математическая логика – это подмножество общей логики, т.е. некоторая ее часть.) Математически можно доказать только такую формулировку, которая истинна для любого мира, как действительного, так и только возможного, а находить такие универсальные формулировки непросто. Если говорить об общей логике, то она не столь универсальна, но тоже создана не только для нашего мира. Чтобы утверждение было доказуемым, его нужно конкретизировать, ограничивать, обставляя целым рядом условий, характерных именно для нашего мира.

Впрочем, даже если говорить только о нашем мире, основная масса утверждений тоже не универсальна, и верна только в определенных границах. Например, законы идеальных газов действительны только в определенных интервалах давлений и температур.

7.6.

––

Всегда ли можно найти правильную формулировку утверждения?

––

Но тут-то и вырисовывается огромная проблема: как же определить, какие условия, характерные именно для нашего мира, нужно добавить к конкретной формулировке утверждения? Ведь для этого надо знать, чем наш мир отличается от других. Но мы же не можем бывать в других существующих мирах, не говоря уже о несуществующих, но возможных, это нам не дано. И однако некоторым иногда удается находить выход из этого затруднения с помощью идей. Здесь я только обозначаю этот факт, а речь об идеях будет впереди.

Пример. Допустим, на некой планете живет не очень сообразительное существо. Климат там такой: ровно полгода лето, и вся планета зеленая, затем резко наступает зима, и вся планета белая от снега. И вот это недалекое существо формулирует " Закон цветов": "Зеленый цвет имеет свойство сменяться только белым, а белый цвет – только зеленым". Что получится, если этот инопланетный придурок вознамерится логически доказать такой "закон"? Он может пыхтеть над доказательством хоть миллион лет, но никогда не докажет свой "закон", потому что он в таком общем виде неверен, хотя и безотказно действует на той планете. Но на других планетах есть много цветов, и сменяться они могут произвольно.

В нашем мире подобные ситуации тоже не редкость. В свое время знаменитый математик Гаусс (1777-1855) писал: человек, которому удастся доказать, что через точку на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной, заслужит в качестве приза бриллиант размером с весь земной шар. Но впоследствии Лобачевский (1792-1856) (да и сам Гаусс) понял, что доказать это невозможно, потому что существуют разные геометрии, и не все они обладают таким свойством.

Если даже отвлечься от других миров, надо иметь ввиду следующее. Количество разных факторов, влияющих на ход явлений, очень велико. Когда человек хочет что-то логически доказать, он выделяет ряд факторов, достаточных, по его мнению, чтобы объяснить некую закономерность. Но тут очень возможны ошибки, какие-то существенные в данном случае факторы могут ускользнуть от внимания, и тогда логическое доказательство этой закономерности окажется невозможным. Например, из опыта известно, что вода кипит при 100 градусах Цельсия. Но тщетно было бы пытаться доказать это, исходя только из строения самой воды. Есть еще существенный фактор: атмосферное давление. Вода кипит при 100 градусах Цельсия только в условиях нормального атмосферного давления, само существование которого далеко не очевидно, и было обнаружено чрезвычайными усилиями гениальных людей.

Так что если для всех наук, кроме математики, эмпирические знания считать хлебом, то строгие логические доказательства – это пирожные.

7.7.

––

Натуральные числа

––

Рассмотрим множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,… В этом бесконечном множестве есть числа простые, есть мудреные, есть элегантные, есть корявые, есть серьезные, есть с юмором. Каждое число имеет свое лицо, свою индивидуальность, свой характер, свое уникальное и неповторимое сочетание свойств. В отличие от людей они никогда не обманут, каждое из них прекрасно знает свое дело и свою роль. Множество целых чисел с их свойствами гораздо разнообразнее и содержательнее множества людей уже потому, что множество людей конечно, а множество целых чисел бесконечно.

Первым понял философское значение натуральных чисел Пифагор (ок.580-500 до н.э.)

Сначала человек догадывается о существовании целых чисел, пересчитывая предметы. Но количества предметов – это еще не сами числа, а только их тени, их очень несовершенные воплощения.

Бывают и другие воплощения множества целых чисел (см. Глава 5 "Физика").

7.8.

––

Теорема Геделя о неполноте. Невозможность полной логической формализации процесса познания

––

В 1931 году Гедель доказал свою знаменитую теорему о неполноте: все свойства любого математического объекта, включающего множество натуральных чисел, не могут быть формально-логически выведены ни из какой конечной системы аксиом. В ее рамках всегда можно сформулировать истинное утверждение, которое нельзя доказать с помощью данной системы аксиом. Тогда можно принять истинность этого утверждения за новую аксиому и присоединить ее к уже имеющимся. Получится новая, более широкая система аксиом. Или можно принять за аксиому отрицание этого утверждения, тогда получится другая новая система аксиом. На первый взгляд может показаться, что расширение системы аксиом приводит к более общей теории, но это не так. Как раз наоборот, получится более частная теория, но в ней можно будет доказывать много таких утверждений, которые в рамках старой системы аксиом были недоказуемы.

Значение теоремы Геделя о неполноте выходит далеко за рамки чистой математики. Из нее следует, что полная логическая формализация человеческого познания в принципе невозможна (см. Глава 2 "Рассудок"). Довольно ясно, что чисто логическое познание мира было бы возможно только в том случае, если бы любое истинное утверждение можно было чисто логически доказать, а любое ложное утверждение можно было чисто логически опровергнуть. Но из теоремы Геделя о неполноте как раз и следует, что при наличии лишь конечной системы аксиом (а в человеческом разуме не может быть ничего бесконечного) не любое истинное утверждение является логически доказуемым.