Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 4: Поверх методологических границ

М.И. Может быть, даже не семиотических вообще, а еще точнее – прагматических.

В.С. Да, конечно, прагматико-семиотических свойств объекта.

Мы взяли ряд утверждений из книги такого классика математической науки, как Давид Гильберт. Эти труды являются основополагающими в области математической логики. Содержащиеся там утверждения, с нашей точки зрения, содержат неявные предположения, которые не прояснены. А если их прояснить, то получается совершенно иная ситуация. То есть семиотика дает возможность углубить понимание как математики, так и логики. Причем именно в области, которая лежит между математикой и логикой, нужно семиотику стараться применить максимально полно, так как практически все парадоксы получаются из-за того, что какие?то утверждения оказываются неэксплицированными, т.е. их семиотическая природа не раскрывается.

Соответственно, мы имеем следующую вещь. В лингвистике есть понятие пиджин-языков. Пиджины – это языки, обладающие минимальной грамматикой. Пиджин-языки достаточно широко распространены. Многие из них стали государственными в некоторых экзотических странах. Так, в частности в Новой Гвинеи ток-писин (Tok Pisin) стал государственным языком. При анализе этих пиджин-языков выявляется очень интересная вещь. Они практически лишены синтаксиса.

Математика в ее бурбакистском варианте тоже является пиджин-языком. Это сильное утверждение. В соответствии с идеологией Н. Бурбаки, математика стремится выразить свои утверждения, используя очень ограниченное число знаков, пытаясь элиминировать слова естественного языка. За псевдонимом Н. Бурбаки скрывались очень серьезные математики и они подписывались под этим. При этом происходит пиджинизация математики. Что такое пиджин? Это упрощение формального синтаксиса, но это и немыслимое усложнение прагматики, потому что значительная часть содержания такого языка фактически переносится в прагматику.

М.И. Если я правильно понимаю, в пиджин-языках все держится на прагматике, но прагматических маркеров там тоже очень мало. Они ситуационные. Других там практически нет или крайне мало.

В.С. Да, ситуационные маркеры. С математикой пытались сделать такую же вещь. Математики и логики, пытаясь элиминировать естественный язык, попадают в ту же самую ситуацию, т.е. прагматическое знание становится неявной частью математического знания и передается из рук в руки. Попробуйте взять статью по современной математической логике – вы, даже будучи математиком, но не будучи специалистом в области математической логики, в ней ничего не поймете. Вы не знаете конвенций, которые лежат в основе этого языка. Если этих конвенций не знать, то вообще ничего не понятно. В статье мы приводим пример, что, в частности, конвенция, состоящая в том, что отсутствие квантора в утверждениях означает что это утверждение истинно – это типичный пример пиджинизации, т.е. не зная этого утверждения, вы просто не понимаете математический текст. И очень тяжело это воспринять интуитивно. Потому что приучить себя к тому, что надо понимать формулы без кванторов как истинное утверждение – это очень нетривиальная вещь.

Является ли семиотика чем?то надматематическим? С моей точки зрения, да, является, но семиотика имеет свою собственную область применения, т.е., она занимается только некими специфическими отношениями между математическими знаками. Содержательные утверждения математики, например теоремы – это очень непростая вещь. Теоремами обычно считаются утверждения, которые можно вывести из постулатов. С моей точки зрения, это неадекватное определение, потому что вывод из постулатов может быть осуществлен механически. Кроме того, в достаточно сложной системе постулатов есть невыводимые утверждения. Это устанавливает теорема Гёделя. В практике формальных логических систем часто существуют очень сложные утверждения, которые просто невозможно интерпретировать. Если взять модальную логику, то там существуют различные кванторы – квантор возможности, долженствования и т.д. В принципе, можно эти кванторы расставить один за другим – возможно, должно, необходимо. Но если поставить 3–4 таких квантора вместе, то такое логическое утверждение просто невозможно будет интерпретировать. В модальных логиках многие так называемые теоремы, которые выводятся из постулатов, просто неинтерпретируемы.

В математике, помимо таких чисто формальных утверждений, полученных путем вывода из постулатов, существуют настоящие теоремы. Настоящие теоремы – это такие утверждения, которые можно получить, если использовать независимо две различные системы постулатов, утверждения, которые устанавливают нетривиальные взаимосвязи между этими системами. Скажем, что такое теорема Пифагора? Это утверждение, что прямоугольник, построенный на гипотенузе, по площади равен сумме прямоугольников, построенных на катетах. Но можно написать это как чисто алгебраическое утверждение a

+ b

= c

, где a, b, c – числа, соответствующие сторонам треугольника. Можно понимать теорему Пифагора и как геометрическое утверждение, доказывая ее через анализ геометрических построений. То есть теорема Пифагора – это настоящая теорема, потому что есть два языка, в которых ее можно записать, и она дает возможность проникновения из одного мира (алгебры) в другой мир (геометрии). Каждый мир постулатов это замкнутый мир. Но если у вас появляется настоящая теорема, то это означает, что можно проникнуть из одного мира в другой. Почему, скажем, теория чисел считается королевой математики? Потому что теория чисел, казалось бы, имея дело с очень простыми вещами – числами, сложением, вычитанием, умножением, делением, позволяет сделать достаточно много нетривиальных утверждений выглядящих вполне элементарно. Высшая теория чисел широко использует математический анализ, метод тригонометрического разложения, теорию функций комплексных переменных и т.д. Совокупность утверждений, сделанных относительно всего числового ряда как целого, труднодоступна элементарным методам. Для того, чтобы сделать утверждение относительно всего числового ряда как целого, нужно перейти в другую систему постулатов, из другого мира посмотреть. А миры математического анализа к арифметике не сводятся. Это означает, что теория чисел обладает огромным потенциалом установления соответствия между различными математическими мирами.