Основы философии (о теле, о человеке, о гражданине). Человеческая природа. О свободе и необходимости. Левиафан

E__G__F

то существующее между ними отношение равенства непосредственно доступно созерцанию. Если же линии EF и EG неравны, то этим дано как отношение EF к EG, так и отношение EG к EF, так как разница обеих изображенных линиями величин выражена линией GF. Отношение неравных величин есть количество, так как оно выражается разницей GF, которая есть количество. Отношение же равенства не есть количество, так как между величинами нет разницы, а из равенств одно не может быть больше другого (что бывает при неравенствах).

9. Отношение двух промежутков времени или скоростей двух равномерных движений обозначают двумя линиями, вдоль которых, как мы себе представляем, равномерно движутся два тела. В зависимости от того, принимаем ли мы обе эти линии за изображения величин, времен или скоростей, они будут представлять или отношение друг к другу, или отношение времен, или отношение скоростей. Так, пусть линии А и В:

____A____ ____B____

прежде всего наглядно представляют отношение друг к другу. Если же затем мы представим себе, что вдоль этих линий равномерно с равной скоростью движутся тела, и если связанные с движением этих тел промежутки времени будут относиться друг к другу как большие, меньшие или равные в соответствии с пройденным в это большее, меньшее или равное время путем, то линии А и В будут представлять равенство или неравенство, т. е. отношение этих промежутков времени. Если, наконец, мы предположим, что линии А и В пройдены в один и тот же промежуток времени, то они будут представлять равенство или неравенство, т. е. отношение, скоростей, ибо скорости бывают большими, меньшими или равными в зависимости от того, проходят ли движущиеся тела в одинаковое время большие, меньшие или равные отрезки пространства.

Глава XIII

Об аналогиях, или О тождестве отношении

1, 2, 3, 4. Сущность и определение арифметических и геометрических отношений. 5. Определение и некоторые свойства равных арифметических отношений. 6, 7. Определение и преобразование равных геометрических отношений. 8, 9. Определение и преобразование неравных отношений. 10, 11, 12. Сравнение аналогичных количеств в отношении их величин. 13, 14, 15. Соединение отношений 16, 17,18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Определение и свойства непрерывных отношений. 26, 27, 28, 29. Сравнение арифметических и геометрических отношений.

Глава XIV

О прямых и кривых линиях. Угол и фигура

1. Определение и свойства прямой линии.

[…] Кратчайшая линия между двумя данными точками есть та, конечные точки которой не могут быть удалены друг от друга без того, чтобы она не претерпела количественных изменений, т. е. чтобы не изменилось отношение этой линии к другой линии […] Кривой называется такая линия, конечные пункты которой могут быть еще больше удалены друг от друга, прямой – такая, чьи конечные пункты не могут быть больше удалены друг от друга […] III. Между двумя данными точками может быть проведена только одна прямая линия, ибо между ними может быть только одно кратчайшее расстояние, или одна наименьшая длина. Чтобы доказать это, предположим обратное, т. е. что между двумя данными точками могут быть две прямые линии. В таком случае они или совпадают и, следовательно, обе представляют собой только одну прямую линию, или не совпадают, и тогда, если мы посредством растягивания наложим одну из них на другую, конечные пункты одной линии окажутся более удаленными друг от друга, чем конечные пункты другой. Первая линия поэтому с самого начала была кривой […]

2. Определение и свойства плоскости.

[…] Плоскость описывается прямой линией, которая движется так, что все ее точки описывают прямые линии…

Различные виды кривых.

Определение и свойства круговых линий.

Свойства прямых линий на плоскости.

Определение пересекающихся линий.

Определение и виды углов.

[…] Если две линии или несколько плоскостей соприкасаются в одной-единственной точке, а везде вне этой точки расходятся, то величина этого расхождения есть угол […]

В концентрических кругах дуги равных углов относятся, как окружности кругов.

Чем измеряется угол?

[…] Угол измеряется дугой, величина которой определяется ее отношением ко всей окружности круга […]

Различие простых углов.

О прямых, соединяющих центр круга с касательной.

Общее определение параллельных линий; свойства параллельных прямых.

[…] Две любые линии, прямые или ломаные, равно как и две плоскости, параллельны, если две равные прямые линии, пересекая их где бы то ни было, всегда образуют равные углы […]

Окружности двух кругов относятся друг к другу, как их диаметры.

Прямые линии, проведенные параллельно к основанию треугольника, относятся друг к другу, как отрезки сторон треугольника.

15. От какого излома прямой линии возникает окружность круга?

Угол, образуемый двумя касательными к одной кривой, как и простой угол, имеет величину, но его величина – другого рода. К нему ничего не может быть прибавлено, и от него ничего не может быть отнято.

Отклонение двух плоскостей есть простой угол.

Что такое телесный угол (solidus)?

Что такое асимптоты?

Чем определяется положение?

Что значит подобное положение; что такое фигура и что такое подобные фигуры?

Раздел третий

О законах движения и величин

Глава XV

О природе и различном понимании движения и стремления (импульса – conatus)

Повторение некоторых принципов развитого раньше учения о движении.

Дальнейшие принципы.

[…] Стремление, или импульс (conatus), есть движение через такой отрезок пространства и в течение такого промежутка времени, которые так малы, что не могут быть даны, или обозначены числами, следовательно, движение через точку. Для разъяснения этого определения нужно напомнить, что под точкой не следует понимать нечто не имеющее величины, или неделимое. Ничего подобного вообще не существует в природе. Точка означает здесь нечто, величина или части чего не принимаются во внимание при доказательстве, т. е. точка принимается не за неделимое, а за неразделенное. Точно так же и под мгновением следует понимать не нечто неделимое, а неразделенный элемент времени […] Подобно тому как мы сравниваем точку с точкой, мы можем сравнивать и импульс с импульсом и находить, что один из них больше или меньше другого […]

Под стремительностью (impetus) я понимаю скорость движущегося тела, но рассматриваемую в любом промежутке времени, в течение которого происходит движение. В этом смысле стремительность есть не что иное, как величина и скорость самого импульса […] Сопротивлением называется тот импульс, который при столкновении двух движущихся тел частично или целиком противоположен импульсу другого тела […]

Из двух движущихся тел одно оказывает давление на другое тело, если первое силой своего импульса заставляет сдвинуться со своего места другое тело или его часть […]

Сила есть стремительность, или скорость, движения, умноженная на саму себя или на величину движущегося тела, благодаря чему это последнее более или менее сильно воздействует на тело, которое оказывает ему сопротивление […]

3. Некоторые тезисы о природе движения.

[…] Движущаяся точка, как бы мала ни была стремительность ее движения, приводит в движение точку, находящуюся в покое, при столкновении с последней […]

Если движущаяся точка ударяется о точку находящегося в покое тела, то последнее, как бы оно ни было твердо и как бы мала ни была стремительность движущейся точки, силой удара будет немного сдвинуто со своего места […]

Покой не производит абсолютно никакого действия, одно только движение заставляет двигаться покоящиеся тела и приводит в состояние покоя тела движущиеся […]