Очерки теории музыкального моделирования. Книга вторая

Вернемся вновь к схеме звукоряда, понимая теперь, что перед нами образ не только звукоряда (частотной шкалы), но и артефакта культуры, несущего в снятом виде и законы и физики, и законы человеческой физиологии и психологии.

Клавиатура как орнамент

С первого взгляда мы замечаем, что перед нами закономерно организованный орнамент, с точностью повторяющийся через каждые 12 шагов (элементов). Любой ученик музыкальной школы с удовольствием объяснит вам (если вы решитесь спросить его, в чем тут дело), что вся клавиатура делится на равные части – октавы, и в каждой октаве есть своя нота до, своя нота ре, своя нота ми и так далее. Почему эти ноты одинаковы и почему у них (как следствие) общее имя, далеко не всякий школьник сможет вам объяснить. Но более образованный специалист скажет, что все дело в отношении частот этих звуков. Что разность частот, скажем, всех до всегда равна числу, кратному двум. Если же у вас возникнет вопрос, почему именно такая разность частот дает ощущение тожества (а значит, взаимозаменимости), выразившемся в общности названий, то на него не даст ответа и он. Во всяком случае, одна лишь акустика этого знать не может, ибо это не ее предмет. Зато она констатирует, что с увеличением частоты колебаний увеличивается и субъективная высота звука, которая приблизительно пропорциональна логарифму частоты (закон Вебера-Фехнера).

Это обстоятельство позволяет построить график, выражающий зависимость двух шкал – частоты колебаний и субъективно осознаваемой высоты:

Рис. 4

Шкала частот

Здесь нас интересует на сама эта зависимость (в ее количественном выражении), а факт существования двух разных, но взаимосвязанных по своей природе шкал. Шкала, описывающая физическое явление, и шкала, показывающая то, как преобразуется это физическое явление в результате его взаимодействия с отражающим (психофизиологическим) аппаратом человека. Этот факт имеет принципиальное значение для музыкальной науки, ибо с очевидностью доказывает, что, уже на уровне элементарных основ музыка (и все ее средства, весь ее, так сказать, строительный материал) обнаруживает присутствие человека. Его физиологический и психический аппарат, его деятельность и культура, всю эту сложность осваивающая в процессе своего исторического развития, – все скрыто присутствует в каждом музыкальном звуке, в каждом более сложном созвучии, в каждом звукоряде и т. п. Поэтому любые попытки объяснения каких бы то ни было элементов музыки, исходя лишь из анализа ее физических (акустических) основ, являются ущербными по определению. Ведь генетическое объяснение явления возможно лишь в том случае, если выводит это явление из того, из чего оно в действительности происходит, и опирается на анализ действительных механизмов, обеспечивающих развитие одного из другого. Можно ли, например, объяснить строение рыб, исходя лишь из знаний о свойствах воды и без учета биологических законов, описывающих сами принципы приспособления живого к среде своего обитания?

Теперь зададим вопрос, можем ли мы найти среди шкал, имеющих значение для музыки, такие, которые не несли бы на себе (в самой своей структуре) печать присутствия человека, культуры и т. п.? Такие шкалы – назовем их условно «суб-музыкальные» – существуют. Одну из них мы уже указали. Это континуальная шкала частот. Континуальная потому, что фактором дискретизации, как правило, выступает человек, его деятельность.

Как правило, чаще всего, но не всегда. И сейчас мы поговорим об одном «чисто объективном» факторе, способствующем выделению особых точек на этой континуальной шкале. Это так называемый обертоновый (или натуральный) звукоряд. Его физическая природа состоит в том, что вибрирующее тело – например, струна – колеблется не только всей своей длиной, но и каждой своей половиной, а также каждой своей третьей частью, четвертой частью, пятой частью и так далее. Самый громкий звук (основной тон) рождается колебанием струны по всей длине. Дальнейшие звуки, порождаемые колебанием частей струны, называются обертонами. Последние, как правило, не слышны в качестве самостоятельных звуков, но в своей совокупности образуют окраску звука – тембр. Впрочем, и в этом превращении обертонового состава звука в его тембр опять-таки мы должны констатировать появление человека и его влияния.

Отношения частот здесь весьма простые: если частоту основного тона принять за x, то частота первого обертона равна 2x, частота второго – 3x, частота третьего – 4x и т. д. Что же касается полутоновой шкалы (темперированного строя), проекция на него натурального звукоряда выглядит более сложно. Если, к примеру, основной тон – это до малой октавы, то первый обертон – до первой октавы, второй обертон – соль первой октавы, третий обертон – до второй октавы, четвертый обертон – ми второй октавы… Более подробную информацию на эту тему легко отыскать в соответствующих источниках.

Исторический процесс развития музыкального искусства – особенно на ранних его стадиях – демонстрировал взаимодействие континуальной и натуральной (обертоновой) шкал, когда неслышимые элементы обертонового ряда как бы «проступали» в виде точек на звуковысотном континууме. Это «проступание» соблазнительно принять за своего рода «естественный» процесс становления различного рода звукорядов, аккордов и т. д. Однако следует все же признать, что без участия человека, его практики, его экспериментов и отбора результатов, так или иначе отвечающих его потребностям, не обошлось и обойтись не могло. Физические, независимые от человека шкалы в определенном смысле действительно существуют. Но их взаимодействие, а также складывание на их основе различных элементов музыкального языка уже обнаруживают участие человека, его психофизиологических особенностей, его практики, его потребностей, человеческого общества и человеческой культуры. Сами по себе, как чисто природные, эти процессы происходить не могут.

Вернемся к рассмотрению шкалы на рис. 2. В ее строении мы выявили две закономерности.

Первая закономерность состоит в том, что она делит (квантует) звуко-высотный континуум на равные отрезки – «полутоны». Каждый полутоновый шаг равен предыдущему полутоновому шагу, так же, как и последующему. Приняв эту закономерность за основу последующих построений, мы можем продолжать движение по полутонам, как в одну, так и в другую сторону, теоретически, до бесконечности. Эту потенциально бесконечную конструкцию мы будем называть «полутоновая прямая».

Понятно, что полутоновая прямая есть теоретическая абстракция, подобная «идеальному газу» или «абсолютно твердому телу». Говоря о ней, мы абстрагируемся от того, что диапазон слышимых звуков ограничен и в реальности никакое движение в бесконечность здесь не представляется возможным. Но мы отвлекаемся от этих естественных ограничений, сосредотачивая внимание на самом способе порождения данной конструкции. Мы также не обращаем внимания на различие белых и черных клавиш, что, фактически, означает переход к тому способу представления, который лежит в основе рис.3. Можно сказать, что разница между этими двумя рисунками нас просто не интересует. Пока не интересует.

Вторая закономерность наглядно видна именно на рис.2, где закономерное чередование белых и черных полос (клавиш) обнаруживает повторяющийся через каждые 12 шагов рисунок. Как мы знаем, этому повторению рисунка соответствует одинаковость названий нот, за которой стоит их перцептивное подобие, т. е. «одинаковость», воспринимаемая на слух. Так, начав, например, в До, мы приходим через 12 шагов по полутонам снова к До. То же самое получится от любого другого звука. Таким образом, мы имеем дело с циклическим процессом, который естественно изобразить в виде круга.

Элементы этого круга (они соответствуют хроматической гамме от До до До) мы будем называть гармоническими элементами (ГЭ), как мы это уже делали в первой части «Очерков теории музыкального моделирования» (глава «Гармоническое исчисление»). Тогда для обозначения гармонических элементов мы использовали римские цифры:

12 гармонических элементов (ГЭ)

Здесь мы видим линейное представление системы из 12 гармонических элементов.

А вот круговое представление этой же системы:

Полутоновый круг

Черные кружочки на рисунке соответствуют черным клавишам фортепианной клавиатуры, образуя пентатонический звукоряд. Белые кружочки соответствуют белым клавишам и образуют семиступенную диатонику. Элементы VI и XII образуют тритон Фа – Си. Если исключить этот тритон их состава «белых» элементов и включить в группу «черных», то семиступенная диатоника превратится в пентатонику, а пентатоника превратится в семиступенную диатонику (например, в фа диез мажорную гамму). У нашего круга из 12 элементов (похожего на циферблат часов) есть 6 диаметров. Один из них (III—IX) является осью зеркальной симметрии (белый-белый, черный-черный):

Ось симметрии и асимметрии

Другой диаметр (VI—XII), напротив является осью антисимметрии.

Ось асимметрии

Прочие диаметры такими свойствами не обладают.

Если теперь взять любой из элементов круга и двигаться затем двигаться по часовой стрелке или против, не пропуская ни одного элемента, охватим все без исключения и затем вернемся к исходному. Произойдет это через 12 шагов.

Если мы будем двигаться, пропуская на каждом шаге один элемент (с первого на третий), то мы вернемся к исходному элементу через 6 шагов. Получится у нас при этом целотонный звукоряд.

Если мы будем двигаться, пропуская каждый раз два элемента (с первого на четвертый), то вернемся к исходному элементу через 4 шага. В результате получится уменьшенный септаккорд.

Если двигаться, пропуская три элемента (с первого на пятый), то вернемся к исходному через 3 шага, получив в итоге увеличенное трезвучие.

Если пропускать пять элементов (с первого на седьмой), то через два шага вернемся к исходному пункту, получив тритон.

Совсем иная картина получится, если двигаться в любом из направлений, пропуская четыре элемента (по квартам), или шесть элементов (по квинтам), что в итоге одно и то же. Ровно через 12 шагов, перебрав по пути все элементы круга, мы возвращаемся к исходному пункту.

Переход от полутонового круга к квинтовому

В итоге этого путешествия получается квартовый (или квинтовый) круг:

Квинтовый круг

Обратим внимание, что те же самые диаметры играют роль симметрии и антисимметрии, что и в первом случае. Ре-Ля бемоль (Соль диез) – ось симметрии, Фа-Си – ось антисимметрии.

Кроме того (и в этом нетрудно убедиться самостоятельно), если повторить все наши манипуляции, проделанные с полутоновым кругом, по отношению к квинтовому кругу и попробовать двигаться по нему, пропуская сначала один элемент, потом два, потом три, мы опять получим сначала целотонный звукоряд, затем уменьшенный септаккорд, затем увеличенное трезвучие. То есть, обнаруживается высокая степень структурного подобия между полутоновым и квинтовым кругами.

Далее, выполненную для полутонового круга двенадцати-шаговую процедуру можно повторить теперь для квинтового круга. В результате мы вновь получим полутоновый круг. Таким способом они превращаются друг в друга.

Впрочем, это превращение можно осуществить и более простым путем. Надо из шести диаметров нашего круга выбрать либо все четные, либо все нечетные. А затем элементы, располагающиеся на них поменять местами:

Второй способ перехода

Далее мы можем очень просто «развернуть» этот квинтовый круг в квинтовую прямую, приняв в качестве в качестве идентификационного признака для каждого ее элемента способ порождения данного элемента. Для обозначения этих элементов мы используем привычные названия – до, до диез, ре бемоль и т. д.

После всех проделанных преобразований (манипуляций) система приобрела вид композиции из двух шкал – квинтовой и полутоновой, каждая их который имеет два представления – линейное и круговое. Линейные представления вполне удобно использовать для того, чтобы сделать наглядным характер взаимодействия этих шкал, что мы уже использовали в первом выпуске «Очерков теории музыкального моделирования». Повторим эту схему и в данном тексте:

Квинто-полутоновая схема

На данном шаге нашего исследования мы можем констатировать некоторые важные особенности строения музыкальной моделирующей системы:

– Данная система включает в себя две взаимосвязанные шкалы, упорядочивающие отношения ее элементов – полутоновую и квинтовую.

– Каждая из них имеет два представления:

– линейное – полутоновая прямая и квинтовая прямая

– круговое – полутоновый круг и квинтовый круг.

– Существует преобразование, позволяющее превратить квинтовый круг в полутоновый, а полутоновый в квинтовый. Это преобразование можно выполнить двумя способами. Во-первых, путем движения по кругу. Но не подряд, а шагом по 5 или 7 элементов. Во-вторых, путем взаимного перемещения элементов, находящихся на противоположных концах трех четных либо трех нечетных диаметров.

– Отношение полутоновой и квинтовой шкал характеризуется высоким уровнем симметрии.

– Эта симметрия не означает их смысловой идентичности и взаимозаменяемости. Элементы (кванты) этих шкал – квинта и полутон – существенным образом отличаются по своему звучанию и, как мы знаем из соответствующих разделов первой книги, по своей модельной функции. Полутоновая шкала – пространство. Квинтовая шкала – энергия.