Слова и числа

Слова и числа
Владимир Валентинович Трошин

Данный сборник занимательных материалов предназначен для тех, кто интересуется головоломками, логическими задачами. Он раскрывает связи между двумя основными предметами курса средней школы: русским языком и математикой. Собранные материалы можно использовать как на уроках, так и на внеклассных занятиях, в организации проектной деятельности, в подготовке тематических презентаций. Максимум желаний автора, чтобы эту книгу прочитали любознательные учащиеся. Она рассказывает о письменности и интересных фактах, связанных с ней, а расширение общего кругозора всегда дает только положительные результаты.

Предисловие

Русский язык и математика – два основных предмета в курсе средней школы. Преподаватели других учебных дисциплин могут с этим спорить, но именно на русский язык и на математику выделяется больше всего учебных часов в течение всего периода обучения в школе, по сравнению с другими дисциплинами. Второе подтверждение важности этих предметов состоит в том, что именно они с самого начала введения ГИА и ЕГЭ были и остаются обязательными для сдачи соответствующего экзамена. Эти два фактора объединяют русский язык и математику, но в остальном их считают двумя различными полюсами образования. При наличии способностей к русскому языку учащихся относят к гуманитариям. В этот же блок предметов включаются литература, история, обществознание, иностранный язык. Математика относится к точным наукам. К ней примыкают информатика и естественные науки: физика, химия, биология. Считается, что гуманитарии не очень склонны к естественнонаучным и точным дисциплинам и наоборот, математики далеки от поэзии. Есть правда отличники, которые успевают по всем предметам, их почему-то называют «ботаниками». Почему именно ботаниками[?] Это первый вопрос, который ставится перед читателем. В дальнейшем повествовании будут предложены вопросы и задания трех видов. На некоторые вопросы предлагается ответить самостоятельно. В этом случае, чтобы отличить эти вопросы от просто вопросительного предложения, знак вопроса будем ставить в квадратных скобках, как в случае с ботаниками. Большинство заданий имеют ответы в конце книги. Для них введем нумерацию с обозначением знака вопроса и номера задания в квадратных скобках [?-1]. Соответствующие ответы будут даны в приложении, под своим номером, но уже без знака вопроса [1]. Целый ряд вопросов относится к нерешенным на данный момент проблемам. Возможно, их решит кто-то из читателей и, чтобы заострить на них внимание, будем ставить в этом случае два вопросительных знака в квадратных скобках [??].

Книга написана учителем математики, который пытается подойти к рассмотрению русского языка с точки зрения точной науки. Обращается внимание на количественные соотношения в языке, проводится сравнение, ищутся аналогии в двух учебных предметах, математические понятия применяются к языковым объектам.

Действительно, аналогии есть. В языке буквы, в математике цифры, и далее идут параллели: знаки препинания и знаки математических действий, слова и числа, предложения и математические выражения (уравнения, неравенства, формулы). Одна из этих аналогий вынесена в название книги.

Считается, что физика не может обойтись без математики. Это верно. Теперь представьте, что языки заберут всё своё из математики. Математики обозначают точки большими латинскими буквами, длины отрезков малыми латинскими буквами, величины углов греческими буками. Используют запятую в записи десятичных дробей, тире – это тот же минус, двоеточие – знак деления, восклицательный знак в математике – факториал. Любая формула использует в записи буквы. Конечно, буквы русского языка почти не задействованы, но ведь многие латинские знаки букв совпадают с буквами русского алфавита. И вот все это заберем из математики, что будет? Ничего не будет. Математика должна быть благодарна языкознанию за предоставленные возможности выражения.

Поэтому в заголовках разделов этой книги только несколько раз содержатся математические понятия, а всё остальное чистейшее языкознание. Но внутри разделов, после рассмотрения языковых понятий, зачастую находятся аналогичные им математические факты.

Одна из целей книги сблизить преподавателей русского языка и математики. Чтобы когда-то мы увидели учителя русского языка вычисляющего определенный интеграл, или математика, пишущего стихи.

Следующая цель: дать учителям занимательный материал по этим двум предметам, расширяющий кругозор, помогающий интереснее проводить уроки, заинтересовать детей. Учитель может прекрасно знать программный материал, правила грамматики и синтаксиса, но часто у него не хватает ни личного времени, ни времени на уроках, чтобы самому узнать и донести до учащихся, что такое метаграмма и логогриф, криптограмма и ропалик. Не вина учителя, а его беда, что не всё отлажено в жизни, что благородная учительская работа не может элементарно прокормить, и приходится брать большую нагрузку в школе или где-то подрабатывать.

Материалы книги дают возможность интереснее организовать проведение внеклассной работы по предмету, направить, ставшую модной, работу по проектной деятельности учащихся, готовить презентации по отдельным темам. Здесь обозначены различные направления возможных проектных изысканий. Книга может служить основой для составления программы элективных курсов и источником их наполнения.

Хочется надеяться, что этот труд по обобщению разнообразного занимательного материала не пропадет даром и будет полезен не только учителям, но и любознательным учащимся.

Часть 1. Буквы и слова

Что наша жизнь? Игра!

Ребенок, сидя на полу, играет в строительный конструктор – складывает из отдельных кирпичиков модель дома. Музыкант за роялем ищет приятную на слух последовательность из нот различной высоты и длительности – создает мелодию. Химик в лаборатории синтезирует из исходных элементов новое вещество. Писатель за столом пишет роман: буквы собираются в слова, слова в предложения, предложения в главы. Все эти процессы объединяет одно понятие: конструирование, иначе говоря, создание более сложных вещей из конечного набора простых «кирпичиков». Причем, если результат можно описать словом «хорошо», то процесс конструирования поднимается на ступеньку выше и становится творчеством.

В свете изложенного, предлагается альтернативный вариант процесса сотворения мира. Откуда-то нам известно, что вначале был хаос, беспорядок. Сколько это продолжалось и почему, трудно сказать. В какой-то момент появился Творец и заступил на ударную вахту по наведению порядка: созданию и названию вещей, явлений и их систематизации. Он взял какие-то очень простые элементы, разбросанные в этом хаосе, практически неосязаемое «ничто», и стал конструировать «нечто». И сказал Творец: «Да будут элементарные частицы», и назвал их электрон, протон, нейтрон, мезон и т. д. (Может быть, он назвал их по-другому, но человек, разбираясь с окружающим миром в дальнейшем самостоятельно, придумал им такие имена.)

И увидел Творец, что это хорошо, но … мелко. Кроме того, уж очень шустрые получились частицы, то и дело разлетались со скоростью света в разные стороны и в большинстве своем были нестабильны. Поэтому Творец решил продолжить процесс конструирования. Комбинируя элементарные частицы в изменяющихся пропорциях и количествах, он получил больше сотни различных атомов. И увидел Творец, что это хорошо и почти совсем стабильно, только в конце таблицы (таблицы вначале не было, это потом Менделеев ее придумал) в спешке были допущены распадающиеся радиоактивные элементы.

Действительно хорошо, потому что красиво. Или наоборот: красиво, потому что хорошо. Здесь мы не приводим рисунок красивой и содержательной таблицы Дмитрия Менделеева, все-таки речь о языке, но вы можете её всегда найти и посмотреть, она того заслуживает. Периодической таблицей химических элементов можно любоваться, понимая умом всё ее совершенство. Если сравнивать её с «Черным квадратом» Казимира Малевича, то напрашивается аналогия: бессмертная фортепианная соната Бетховена рядом с сиюминутным «творением» рэпера.

Вернемся к процессу творения. Дальше работать стало проще. И был день, и было утро, и было то, что мы теперь называем химией неорганической, и было то, что описывает химия органическая. А потом был качественный скачок от неживой природы к живой материи, к биологии. Творец создал одноклеточные и многоклеточные живые организмы.

И когда закрутил Творец спираль молекулы ДНК и нарек её дезоксирибонуклеиновой кислотой, закодировав в ней наследственную информацию живых существ, он понял, что это действительно хорошо и можно отдохнуть от трудов праведных. Творец наслаждался заслуженным отдыхом, занимаясь какими-то другими вопросами. Может быть, спирали галактик закручивал или черные дыры изобретал. Пущенная на самотёк много лет и даже тысячелетий на Земле шла эволюция растительного и животного мира, пока не получился человек разумный – Homo sapiens. Здесь высказывается альтернативная точка зрения на появление человека. Не из глины и подручных материалов, а в процессе эволюции биологических объектов, созданных Творцом.

Увидев то, что получилось в результате эволюции животного мира, Творец засомневался: не переделать ли? Но, посмотрев с высоты своего неба на резвящихся внизу человечков, решил – пусть живут, но под неусыпным контролем. Для этого ему пришлось спуститься и проинструктировать о порядке проживания в Эдеме и правилах поведения в этом общежитии. Почему Творец запретил есть плоды с дерева познания добра и зла? Что он пытался скрыть от человека? Скорее всего, он хотел сохранить монополию на творчество, не хотел открывать этот самый метод конструирования: создания из набора простых вещей все более и более сложных конструкций. Ведь «раскусив» методику творчества, человек уподобился Творцу, почувствовал вкус к этой игре, стал творить сам. Взяв за основу точки, прямые и плоскости человек построил красивое и стройное здание геометрии. Комбинируя последовательности звуков, творит музыку. Из набора букв создает поэзию. Даже в исконной епархии Творца, в химии, человек синтезирует все новые и новые вещества, а в биологии уже замахнулся на клонирование себе подобных, подтверждая, что и из ребра можно что-то живое создать.

Раскрывая идеи Творца, человек постепенно добирается до «кирпичиков», из которых построен мир, идя обратным путем: от крупных блоков – к более мелким. На данный момент развития физики есть понимание, что элементарные частицы еще не начало всего, существует что-то первороднее. В этом плане хитрее всех поступили математики, создав свой конструктор, в котором точка – это абстракция, не имеющая размеров, мельче которой уже нет ничего. А значит процесс конструирования можно вести только в сторону увеличения: точка, отрезок, луч, прямая, плоскость, пространство и так далее. Именно в силу своей наибольшей абстрактности, то есть отрешенности от конкретного и материального, математика может служить измерительным инструментом для других конструкций, позволяя «проверить алгеброй гармонию».

Согласно проповеди Иоанна Богослова – «в начале было слово». Потом слово за слово и вот уже потоки информации захлестывают нас. Попробуем посмотреть на нашу родную речь через призму понятий: количество, соотношения, размещения, перестановки, симметрия, иначе говоря, не взглядом словесника, а с точки зрения учителя математики.

В начале было слово

Действительно, в начале было слово, слово произнесенное, слово прозвучавшее и услышанное. Ведь речь бывает устной и письменной. Устная речь, в которой человек передает информацию с помощью различных звуков, исторически предшествовала возникновению графической передачи информации, то есть письменности. Многие народы тысячелетиями имели свой язык, но не могли записать сказанное, потому что не имели своей письменности. В истории мировой цивилизации развитие письменности шло тоже от слова к букве. Первым этапом развития письма была идеография – метод, при котором единицей графического обозначения является слово. Древнейшими идеографическими письменностями являются древнеегипетская, шумерская и китайская. Для обозначения предметов окружающего мира создавались рисуночные знаки – пиктограммы, которые постепенно становились все более условными, отрываясь от своих предметных прототипов.

Создание индивидуального знака для каждого слова языка шло относительно легко при обозначении предметов с более или менее определенными внешними контурами: гора, человек, солнце, дерево и т. д. Трудности начались при обозначении различного рода абстрактных понятий, действий, качеств и с увеличением количества знаков, требующих запоминания. Подобными знаниями мог владеть только узкий круг посвященных. Египетские письмена с изображениями людей, животных, растений, небесных тел и многого другого с давних пор казались чем-то таинственным и получили наименование – иероглифы, что означает «священные знаки».

(сайт: freeimg.ru/kartinka/158011)

Древнеегипетская и шумерская письменности в какой-то период исторического развития были забыты на долгое время. Только археологические раскопки и упорный труд многих ученых-энтузиастов по дешифровке найденных надписей и текстов возвращают нам знания об этих древнейших видах письменности.

Специфика древнекитайского языка, где преобладали односложные слова, и административное деление Древнего Китая на отдельные царства, говорившие на собственных диалектах, способствовали тому, что китайская иероглифическая письменность оказалась удобным средством междиалектного общения. Знак, передающий на письме слово, мог быть по-разному произнесен на различных диалектах китайского языка, но смысл текста понимался правильно. В результате китайская письменность постоянно развивалась и является единственным в мире последовательным иероглифическим письмом, эффективно действующим и в настоящее время. Вот для примера китайский иероглиф «книга».

Универсальные свойства китайской иероглифической письменности позволили легко приспособить ее для письма на японском, корейском, вьетнамском языках. Для многих покажется неожиданным, но иероглифами на нашей планете в настоящее время пользуется более 1 млрд. населения. Китайские филологи утверждают, что в китайском современном языке примерно 60 тыс. знаков. Минимальное количество иероглифов, которыми должен владеть выпускник средней общеобразовательной школы 3-4 тысячи символов. Те, кто занимается умственным трудом, должны владеть, как минимум 5 тысячами знаков. Иностранцы, которые желают получить сертификат об идеальном владении китайским языком, должны знать около 3000 иероглифов. Установлено, что для понимания смысла 99% текста достаточно знать 2500 наиболее распространенных символов. Мы, не задумываясь, покупаем китайские товары, сложнобытовую технику, в том числе смартфоны и компьютеры. Они постарались для нас и все надписи адаптировали, уж если не к русскому потребителю, то к американскому точно, переведя их на английский язык. Вот теперь задумайтесь: как пишут китайцы между собой СМС сообщения на своих телефонах[?] Клавиатура у них не содержит 3 тысячи кнопок по числу иероглифов, она такая же (почти) как у нас, но сообщения у них состоят из иероглифов. Задумались? Вот вам тема для собственного исследования.

Следующий вопрос: как китайцы работают на компьютерах, если тексты они тоже пишут иероглифами[?] Может у них клавиатура огромная на нескольких столах[?]

Наконец, как составить словарь, допустим, на 3 тысячи иероглифов? Какой поставить первым, какой последним. У нас словари составляются по алфавиту, а у них как сделать[?]

Вот что значит письменность. Характер письменности меняет полностью методику общения, при использовании иероглифов возникают сложности, о которых мы с вами и не задумываемся, а им приходится выкручиваться. Поставленные вопросы, возможно, заинтересуют вас, а поиск ответов на вопросы пробудит интерес к изучению китайского или японского языка. Уверен, пригодится обязательно!

Остальная часть человечества испугалась иероглифических трудностей и пошла другим путем: от знака-слова к слогам и буквам.

Следующим этапом развития письменности стало слоговое письмо, знаки которого уже не связывались с обозначаемыми предметами, а каждый из них соответствовал сразу нескольким звукам речи, целому слогу. Появление слоговых знаков было качественным и количественным скачком в истории письма. Качественным – потому, что слоговые знаки связывались только со звучанием и свидетельствовали о том, что люди стали осознавать членение слов на слоги. Количественным – потому, что на смену большому числу идеографических знаков-слов приходит ограниченное количество слоговых знаков. Первые слоговые знаки возникли в процессе развития идеографического письма, когда отдельные знаки начали утрачивать связь со значением слова, сохраняя лишь свое звучание, и превратились тем самым в звуковые знаки. Подобный процесс проходил в шумерском идеографическом письме. Шумеры писали на табличках из сырой глины: первоначально чертили знаки заостренной палочкой, а позднее стали выдавливать их палочкой, заточенной в виде треугольника – «клина».

Внешние обстоятельства часто определяют пути развития цивилизации. Доступность глины и отсутствие равноценной замены этому материалу, вязкость глины, вынудившая сменить рисование знаков на их выдавливание – все это способствовало распространению письменности, упрощению и схематизации условных знаков. Знаки-символы все дальше уходили от своего рисуночного прототипа, превращаясь в сочетания клиньев, имеющие звуковое слоговое соответствие в устной речи. Подобные же процессы проходили и в древнеегипетской письменности, но ни та, ни другая не стали чисто слоговыми, а только наметили пути развития.

Третий этап развития письменности – это появление буквенного письма и алфавитов. Создание алфавита не было одномоментным процессом, а происходило эволюционно. Предок всех алфавитов – финикийское письмо, состояло из 22 букв, обозначающих только согласные. Читающий должен был догадываться, какие гласные находятся между ними. Пользоваться таким набором знаков было сложно, но именно финикийское письмо послужило основой для создания современного консонантно-вокалического письма (то есть содержащего согласные и гласные буквы).

В 9 веке до нашей эры с финикийским письмом познакомились греки, которые, оставив порядок букв, изменили их форму и во многих случаях звучание, но самое главное – ввели знаки для обозначения гласных и тем самым создали первый настоящий алфавит. Греки экспериментировали и с последовательностью написания букв: писали справа налево, вертикально, смешанной записью справа налево и слева направо. Наконец около 500 года до нашей эры запись слева направо становится общепринятой.

Греческий алфавит, наряду с финикийским использовали этруски, а от их алфавита возник самый распространенный в настоящее время латинский алфавит. Такова краткая история развития письменности в целом.

Буквы и алфавит

Любая форма письменности представляет собой кодирование информации с помощью специальных значков. Чтобы понять закодированное сообщение, нужно знать код, то есть знать, что обозначает каждый знак. Между количеством знаков в коде и длиной текста, записанного с его помощью, прослеживается интересная закономерность, называемая в математике обратной пропорциональностью. Чем больше знаков содержит сам код, тем короче текст, записанный с его помощью, и наоборот, чем меньше знаков в коде, тем длиннее записанный текст. Например, чтобы читать текст на китайском языке, нужно помнить начертание тысяч иероглифов, но иероглифические тексты, сравнительно с текстами других систем письма, наиболее короткие. В то же время, самый короткий код может состоять всего из двух знаков. Пример подобного кода, успешно применявшегося в практике общения и передачи информации – это телеграфная азбука Морзе, которая содержит только два знака · и – , то есть «точку» и «тире». В фильмах о разведчиках мы видим, как радисты передают секретные сообщения с помощью этой азбуки. Назван этот код в честь американского изобретателя и художника Сэмюэля Морзе, который в 1838 году предложил систему передачи текстов с помощью телеграфа. Потом система менялась и совершенствовалась, адаптировалась к другим языкам. Покажем интернациональную кодировку букв и цифр по принципу Морзе.

Две буквы можно закодировать, используя один знак: точка – буква E, тире – буква T. При составлении кода учитывалась частота соответствующих букв в англоязычных текстах. С помощью двух знаков можно закодировать еще четыре буквы – это две точки – буква I, два тире – буква M, точка тире – буква A, тире точка – буква. N. Здесь идет чистая математика. С помощью трех знаков можно закодировать 2

=8 букв, с помощью четырех знаков 2

=16 букв. Таким образом, используя от одного до четырех знаков (точек и тире) можно закодировать 2+4+8+16=30 букв. Практически остались неиспользованными четыре варианта кодировки четырьмя знаками, так как для английского алфавита в 26 букв хватило знаков с избытком. Цифры решили кодировать, используя по пять знаков для каждой. С математической точки зрения наборами из пяти точек или тире можно закодировать еще 2

=32 знака.

В фильмах о разведчиках сообщения дополнительно для большей секретности кодируется цифрами и бедным радистам приходится выстукивать вместо коротких букв, пятизначные коды цифр. Не подумал Морзе о секретных службах, а то бы начал свою систему кодировки не с букв, а с цифр: точка – ноль, тире – единица и так далее. Сообщения были бы намного короче, и радистов труднее было бы запеленговать.

В наше время в вычислительной технике используется двоичное кодирование. Двоичный код состоит тоже из двух знаков 0 и 1, с помощью которых происходит промежуточное кодирование всех знаков алфавитного письма, а затем уже кодирование текста. Количество информации содержащейся в 0 или 1 принимается за 1 бит. Подход к кодированию букв, цифр и знаков изначально был принят другой. Все они кодируются наборами из восьми нулей или единиц. Набор из восьми нулей или единиц несет 1 байт информации. Следовательно, любой знак обычного текста содержит 1 байт информации. Этим кодом, который назвали КОИ-8 можно закодировать 2

=256 различных знаков. Хватит на буквы английского и родного алфавита, а так же на знаки препинания, цифры и еще массу дополнительных знаков. В последнее время перешли с КОИ-8 на Юникод, который представляет собой кодировку с фиксированным размером символа в 16 бит или 2 байта и позволяет закодировать 2

=65 536 знаков. Юникод включает в себя знаки почти всех письменных языков мира. В результате применения подобной системы кодирования, даже короткое предложение будет представлено сотнями знаков 0 и 1 в определенной последовательности, и только быстродействие компьютеров оправдывает использование двоичного кодирования информации.

Таким образом, при создании новых систем передачи информации, приходится учитывать специфику задач конкретной области знаний и балансировать между оптимальной длиной кода и оптимальной длиной текста. Для современной письменности такой золотой серединой являются буквенные алфавиты, содержащие от 25 до 35 знаков, которыми кодируется звуковая речь. Большинство языков имеют алфавитную письменность. Самый короткий алфавит распространен на острове Бугенвиль Соломоновых островов. Он содержит только 11 букв. Гавайский алфавит, созданный на основе латинского, имеет 13 букв. В самом длинном камбоджийском алфавите 72 буквы. С тех пор, как 3500 лет назад был создан первый алфавит, появилось более 200 различных способов записи звуков устной речи.