Математика для любознательных (сборник)

Рассмотрим еще пример. Двухмерный мир (плоскость), двигаясь в трехмерном пространстве, наткнулся на тело в форме двойного конуса (см. рис.). Двухмерный обитатель плоскости, конечно, не может воспринять этот конус как тело; не может даже и вообразить его себе.

Что же будет он видеть и думать, когда мир его наткнется на подобное трехмерное тело и оно пройдет сквозь плоский мир? Проследим за этим. Сначала в двухмерном мире появится точка – вершина конуса. Затем, по мере дальнейшего продвижения плоского мира в направлении третьего измерения (т. е. «с течением времени», как сказал бы двухмерный мыслитель), точка превратится в небольшой кружок или эллипс – сечение конуса плоскостью двухмерного мира. Кружок будет расти, расширяться и, достигнув наибольшего размера, станет сокращаться, постепенно превратится в точку и вновь исчезнет. Двухмерный исследователь наблюдал историю зарождения, развития, увядания и исчезновения «кружка», между тем как мы, существа трехмерные, воспринимаем ту же вещь сразу, одновременно в форме трех измерений. Для них он существовал в цепи последовательно воспринимаемых плоских сечений, для нас – весь целиком, как трехмерное тело. Движение плоскости в третьем измерении знакомого нам пространства переживается двухмерным существом как течение времени. Для него «прошедшее» конуса – это те его части, которые лежат по одну сторону его плоского мира (по ту, откуда плоскость движется); «будущее» конуса – те его части, которые расположены по другую сторону, а «настоящее» – пересечение конуса с двухмерным миром.

Приложим теперь те же рассуждения к миру трехмерному. Когда мы описываем историю изменений какой-нибудь вещи в нашем трехмерном пространстве, не даем ли мы последовательные изображения этой вещи во времени? Если так, то можно рассматривать время как четвертое измерение мира, измерение, в котором движется наш трехмерный мир; каждое явление, наблюдаемое в трехмерном мире – есть одно из последовательных «пересечений» нашего трехмерного мира с четырехмерною вещью. Существо четырех измерений могло бы сразу охватить всю историю вещи, всю ее «жизнь» в виде некоторого четырехмерного объекта, недоступного нашему воображению.

Само собою разумеется, что фантастическая мысль Уэллса – придумать механизм для произвольного движения в четвертом измерении – не свободна от внутренних противоречий и должна быть принимаема не иначе как чисто художественный прием, удобный для успешного развития интриги фантастической повести.

На комете

Жюля Верна[9 - Отрывок из романа «Гектор Сервадак» (1877 г.). Сюжет романа – астрономический: комета задевает земной шар в области Средиземного моря и уносит с собою часть земной поверхности вместе с несколькими обитателями – французами и русскими, – благополучно пережившими катастрофу. Жизнь их на этом небесном теле – Галлии – и составляет главное содержание романа. – Ред.]

Однажды – 27 июня – профессор Розетт бомбой влетел в общую залу, где собрались капитан Сервадак, лейтенант Прокофьев, Тимашев и ординарец Бен-Зуф.

– Лейтенант Прокофьев, – крикнул он, – отвечайте без обиняков и лишних разговоров на вопрос, который я вам задам.

– Я и не имею обыкновения… – начал было лейтенант.

– И отлично! – перебил профессор, обращавшийся с лейтенантом, как учитель с учеником. – Отвечайте: вы объехали на вашей шхуне «Добрыне» кругом Галлии почти по экватору, иначе говоря – по ее большому кругу. Да или нет?

– Да, – ответил лейтенант, которому Тимашев подал знак не противоречить раздраженному ученому.

– Хорошо. А измерили вы при этом путь, пройденный шхуной «Добрыней»?

– Приблизительно, т. е. с помощью лага[10 - Прибор для определения скорости хода судна. – Прим. изд.] и буссоли[11 - Геодезический инструмент для измерения горизонтальных углов между магнитным меридианом и направлением на предмет. – Прим. изд.], но не измеряя высоты солнца и звезд, которую невозможно было определить,

– И что же вы узнали?

– Что окружность Галлии составляет около 2.323[12 - Расчеты здесь и далее проверены и исправлены издателем. – Прим. изд.] километров, а следовательно, ее диаметр равен 740 километрам.

– Да, – сказал профессор, словно про себя, – диаметр в 17 раз меньшеземногодиаметра, равного 12.735[13 - Расстояние от южного до северного полюса равно 12.713,505 км, а диаметр земли на экваторе – 12.756,274 км. – Прим. изд.] километрам.

Сервадак и его спутники смотрели на ученого, не понимая, куда он ведет.

– Так вот, – сказал профессор, – для завершения моего изучения Галлии мне остается определить ее поверхность, объем, массу, плотность и напряжение тяжести на ней.

– Что касается поверхности и объема, – ответил Прокофьев, – то раз мы знаем диаметр Галлии, нет ничего легче, как определить их.

– А я говорю разве, что это трудно? – воскликнул профессор. – Ученик Сервадак, возьмите перо. Зная длину большого круга Галлии, определите величину ее поверхности.

– Вот, – ответил Сервадак, решивший держаться примерным учеником. – Множим окружность 2.323 километра на диаметр, т. е. на 740.

– Скорее же, – торопил профессор, – пора бы уже иметь результат. Ну!

– Так вот, – ответил Сервадак, – я получил в произведении 1.719.020 квадратных километров. Это и есть поверхность Галлии.

– Ну, – продолжал профессор, разгорячаясь, – а теперь, каков же объем Галлии?

– Объем… – замялся Сервадак.

– Ученик Сервадак, неужели вы не можете вычислить объем шара, раз вам известна его поверхность?

– Но, профессор, вы не даете мне времени вздохнуть…

– При вычислениях не дышат, сударь, не дышат!

Слушатели с большим трудом удерживались от смеха.

– Мы когда-нибудь кончим с этим? – спросил профессор – Объем шара равен…

– Произведению поверхности на…

– На треть радиуса, сударь, на треть радиуса! – гремел профессор. – Кончили?

– Почти. Треть радиуса Галлии равна 123,33.

– Ну?

– Произведение 1.719.020 на 123,33 составляет 212.006.737 кубических километров.

– Итак, – сказал профессор, – мы знаем теперь диаметр, окружность, поверхность и объем Галлии. Это уже нечто, но еще не все. Я намерен определить ее массу, плотность и напряжение тяжести на ее поверхности.

– Это будет трудно, – сказал Тимашев.

– Все равно. Я желаю знать, сколько весит моя комета, и узнаю это!

– Задача не легкая, – заметил лейтенант Прокофьев. – Ведь нам неизвестен состав вещества Галлии.

– Вам неизвестен ее состав? – спросил профессор.

– Неизвестен, – сказал Тимашев, – и если вы нам поможете…

– Пустяки, – заметил ученый, – я решу свою задачу и без этого.

– Мы всегда к вашим услугам, – сказал капитан Сервадак.

* * *

62-го галлийского апреля[14 - Так как Галлия делала оборот вокруг Солнца в два года и этот период был разделен обитателями кометы на 12 частей, то месяцы на Галлии были также вдвое длиннее земных. – Ред.] на имя капитана Сервадака пришла краткая записка от профессора. Розетт сообщал, что в этот день предлагает выполнить работы, необходимые для определения массы, плотности кометы и напряжения тяжести на ее поверхности.

Сервадак, Тимашев и Прокофьев боялись пропустить свидание, назначенное вспыльчивым ученым. С утра все собрались в большой зале. Профессор, по-видимому, не был в дурном настроении, – но день только начался.

Все знают, что такое напряжение тяжести. Это сила притяжения, проявляемая Землей по отношению к телу, масса которого равна единице. Галлийцам было известно, что это притяжение на Галлии ослаблено, – откуда и возрастание мускульной силы галлийцев. Но они не знали, на сколько именно тяжесть ослабела.

Итак, первый вопрос, подлежавший разрешению, был: как велико напряжение тяжести на поверхности Галлии?

Второй вопрос: какова масса Галлии, а следовательно, и ее вес?

Третий вопрос: какую массу заключает вещество Галлии в единице объема? Другими словами: какова ее плотность?