Пушистые логарифмы

Крутое сварив яйцо, соберемся в поход.

И Барсик нас провожает – сказочный кот!

Движимые вечностью – смерть, держись, идем навстречу мы!

Движимые вечностью, смерть, держись, идем навстречу мы!

Навстречу заре мы пойдем на восток.

Шуршит под ногами прибрежный песок.

Здесь каждый оставить должен собственный след.

И Барсик нас провожает, но его уже нет.

И счастье так близко – попробуй поймай!

Но не купишь билетик на потерянный май.

Тот день остается далеко за спиной,

Но память об этом навеки со мной!

Она в моем сердце, словно сказочный храм!

Я знаю, однажды найду тебя там.

Есть дом у истока великой реки.

Там ветер шумит в камышах и шаги так легки.

И там завершится наш детский поход.

И Барсик нас встретит, сказочный кот.

Натуральные числа: кромешная скука или вестники другого мира?

Если кто не помнит, ряд чисел 1, 2, 3, 4, …, 12, … и так до бесконечности называется натуральным. Как говорится в школьных учебниках, это числа, которые мы используем при счете. И на первый взгляд кажется, что в них нет ничего особенного. Считать предметы мы научились с самых ранних лет.

Однако, как ни странно, натуральный ряд – одна из самых таинственных вещей, с которыми нам когда-либо приходилось сталкиваться. Сложности возникают уже при вопросе: откуда они появились?

Есть разные теории, пытающиеся ответить на это.

Сторонники эмпирического подхода считают, что числа возникают из непосредственного опыта, который дают нам органы чувств подобно тому, как из него возникают физические или химические законы. Но тут возникает проблема: если физические объекты и вещества мы видим и ощущаем, то самих чисел видеть не можем. Мы можем видеть 5 кружек, но само число 5 находится только в нашей голове. Нигде в природе мы не найдем и законов арифметики и алгебры – мы можем найти их только в своих мыслях.

Другой, лингвистический, подход утверждает, что числа – искусственный язык, придуманный человеком для описания действительности. Подобно тому, как мы используем слово «синий» для описания определенного цвета, мы используем слово «пять» для описания пяти кружек. Но здесь также возникают сложности: если мы придумываем язык, мы сами задаем его законы и можем быть уверенными, что не сделаем там неожиданных открытий.

Было бы странно, если бы учительница русского языка с удивлением обнаружила, что слово «жил» пишется на самом деле через «ы». Филологи заранее знают, что получат на выходе. Чего нельзя сказать о математиках. К примеру, в 1637 г. математик Ферма записал интересную формулу о соотношении чисел, доказать которую удалось только в конце двадцатого века. Смысл в том, что математики используют числовой ряд, но не знают всех его закономерностей. Они открывают там новые теоремы и формулы подобно тому, как географы открывали новые земли.

И здесь мы приходим к третьему и, пожалуй, самому популярному среди самих математиков направлению – математическому платонизму. Суть этого подхода в том, что числа рассматриваются как отдельная независимая от физического мира реальность, некая «матрица», из которой возникает материальная вселенная[2 - Об этом очень интересно рассуждает один из создателей теории большого взрыва Роджер Пенроуз.]. К подобному выводу можно прийти путем примерно таких рассуждений: в материальном мире нет ничего вечного: с деревьев падают листья, гниют яблоки, стареют люди, империи, галактики, в то время как числовые закономерности существовали и будут существовать всегда.

Как некую альтернативу платонизму можно рассматривать математический логицизм. Он объясняет вечность чисел тем, что законы арифметики целиком сводятся не к метафизике, а к законам формальной логики, а последние не обладают содержанием, а являются лишь формой мышления[3 - Тут можно вспомнить аналитические суждения Канта, которые в отличии от содержательных синтетических, являются чистой тавтологией, А=А.]. Но тут возникает нечто очень странное. Мы выводим числовой ряд путем однообразного алгоритма прибавления единицы – однако получаем в результате удивительное полотно с математическими узорами, которые никак не вяжутся с формально-логическими тавтологиями. К примеру, есть такие числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …, их называют простыми. Они делятся только на себя и на единицу. И вот оказывается, что простые числа набросаны во множестве натуральных без всякой логики, словно полезные ископаемые или семена диковинных растений. Откуда они появились в человеческом разуме, до сих пор остается загадкой.

Напрашивается удивительный вывод: наше мышление имеет доступ к информации, которую невозможно получить через органы чувств или вывести чисто логически. Возникают вопросы: каковы же тогда возможности нашего интеллекта и каков источник этого знания?

Натуральные числа – лазейка в интеллектуальный лабиринт, ведущий в глубочайшие тайники человеческого мышления и, по-видимому, самой реальности.

Скатерть улама, или как найти бездну в собственном разуме

В 6-м классе школьники, как правило, знакомятся с простыми числами. Для тех, кто забыл, напоминаем: натуральными мы называем числа, которые используем для счета предметов: 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12, 13, 14… и так до бесконечности. Соответственно, все, что не входит в это множество, натуральными числами не является – например, отрицательные числа или дроби.

Простыми мы называем все натуральные числа, которые делятся только на себя и на единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. Все остальные числа называются составными. Например, 12 = 3 * 2 * 2, т. е. число 12 разбивается на три простых множителя. Аналогично каждое составное число можно «построить» из простых, как из неких первичных кирпичиков. 15 = 3 * 5, 36 = 2 * 2 * 3 * 3 и т. д.

Вроде бы и правда все очень просто.

Однако на деле простые числа оказываются не такими уж простыми. Главная их тайна состоит в том, что за всю историю человечества еще никому не удалось найти закон, по которому они распределены во множестве натуральных чисел. Если, к примеру, все четные числа можно легко задать формулой x = 2 * n, а квадраты – x = n ^ 2, то для простых чисел нет не то что простой формулы, а вообще никакой. Простые числа набросаны во множестве натуральных по какой-то своей непостижимой логике – словно драгоценные камни в земной коре или звезды на небе.

Попытки разгадать логику их расположения предпринимались неоднократно, но дело не шло дальше нахождения отдельных островков, подчиняющихся своим локальным законам. Например, Эйлер нашел многочлен x2 – x +41 при подстановке вместо x чисел от 1 до 40 дающий только простые числа. Впоследствии было найдено множество других аналогичных формул.

И тем не менее было непонятно, является ли наличие подобных скоплений проявлением некой глубинной закономерности или простой случайностью.

Скопления простых чисел можно сравнить с зарослями деревьев, причудливо раскиданных по земле, но однажды кое-кому открылось то, что можно назвать видом с высоты на эти заросли.

В 1963 г. американско-польский математик Станислав Улам присутствовал на одном чрезвычайно скучном научном докладе. От нечего делать он начал записывать натуральные числа спиралью, как показано на рисунке. И вдруг обнаружил нечто такое, что потрясает воображение любого математика: оказалось, что простые числа распределяются на этом рисунке по ровным диагональным, вертикальным и горизонтальным отрезкам. Отрезки эти разной длины, находятся в разных местах, и тем не менее обнаруженная закономерность продолжается на всем множестве чисел. Сколь долго бы мы не продолжали спираль Улама, простые числа будут послушно группироваться в отрезки, и, как оказалось, каждый такой отрезок соответствует какому-то квадратному многочлену наподобие тех, что открыл Эйлер. Простые числа выстраиваются как молнии, переплетаются как неведомые коды и иероглифы из миров, лежащих за пределами человеческого опыта. Откуда они там появились? Почему, монотонно прибавляя единицу, мы получаем эти загадочные структуры, объективные для всех, но существующие только в нашем сознании? Простые числа показывают нам, что для соприкосновения с бездной необязательно лететь в далекие галактики или расщеплять частицы. Мы можем уютно расположиться в кресле и найти эту бездну в нашем собственном разуме.

Простая тайна двадцати четырех

«И вокруг престола двадцать четыре престола; а на престолах видел я сидевших двадцать четыре старца, которые облечены были в белые одежды и имели на головах своих золотые венцы». (Откровение от Иоанна 4:4).

24 старца из «Апокалипсиса», 24 часа в сутках, факториал четырех, удвоенная дюжина…

Какие еще тайны скрывает 24?

К примеру, вот такую:

Мы помним, как причудливо раскиданы простые числа во множестве натуральных: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23…

Величайшие математики мира смогли выявить формулы лишь для отдельных небольших островков простых чисел. Но удивительное дело: если мы возведем в квадрат любое простое число начиная с пяти и вычтем из него единицу, то полученный результат будет всегда делиться на 24.

Не на 25, не на 26, не на 27 и т. д., а всегда на 24.

К примеру, пять в квадрате минус один равно 24 – делится. семь в квадрате минус один равно 48 – делится. одиннадцать в квадрате минус один равно 120 – делится. Далее можете проверить сами.

Так почему же именно 24?

Владислав Степанович Малаховский: вещие сны о простых числах

Профессор Малаховский – для калининградского физмата фигура почти мифическая. Признанный в мире специалист по дифференциальной геометрии, знаток множества языков, человек, которого однажды в Британии посчитали советским шпионом, герой мистической передачи на канале «Культура» – он напоминает Джона Форбса Нэша из фильма «Игры разума». Малаховский умудряется вовлекать в математику, как в великое путешествие по миру идей. Высокая академическая планка сочетается у него с юношеским пылом и каким-то детским чутьем к чудесному.