Пушистые логарифмы

Точно так же для физика, работающего над какой-то проблемой, случайно намагниченная железяка или нагревшаяся стенка холодильника может сказать то, чего никогда не скажет человеку со стороны.

Интересно, что аттракторы выстраивают себя сами, для их создания не требуется детального планирования и инженерного чертежа. Но все-таки от человека тоже кое-что зависит.

В теории хаоса есть такое важное понятие, как бифуркация – возможность точки в определенные моменты выйти на разные траектории, как бы разные ветви развития событий. Так же человек в своей жизни делает выбор: стать адвокатом, ученым, художником, музыкантом… После того как точка бифуркации пройдена, аттрактор начинает притягивать события, выстраивать их подобно тому, как магнит выстраивает железные опилки. И будущий художник «случайно» оказывается в Эрмитаже, а музыкант вдруг различает в повседневном потоке музыки контуры еще не проявившихся шедевров.

Нелинейная динамика проливает свет на внутренние процессы творчества: если бы в нем правил чистый хаос, это могло бы привести разве что к шизофрении, если бы правил только аналитический разум – были бы закрыты каналы для создания нового. Но в творчестве порядок творится из хаоса – так, из множества пролетающих идей рождается книга, а из случайных звуковых рядов появляется музыкальное произведение.

Поток окружающих нас явлений может показаться бессмысленным, но не сокрыты ли за этой бессмыслицей сокровенные аттракторы мечты?

Геометрия пчелиных сот и тайна шестиугольных кругов

Даже элементарные открытия, сделанные самостоятельно, могут сделать то, чего не сделают сотни зазубренных учебников, – вызвать настоящую теорию (изначально под этим словом пифагорейцы понимали мистический экстаз от соприкосновения с истиной). Теория – своего рода молния из страны смысла. Однажды, когда я готовил макароны, эта молния слегка коснулась меня. Я увидел, как раздувающиеся пузыри в кипящей воде в страшной давке за «место под солнцем» стали приобретать какие-то странные формы… Мгновенная вспышка, и я «увидел» ответ на вопрос, смутно терзавший меня с детства: почему в природе так часто встречаются шестиугольники? Пчелиные соты, клетки, узоры на панцирях черепах…

Шестиугольник – идеальная фигура, чтобы замостить плоскость без пробелов. Это уже что-то, т. к. для подобной цели не подойдут ни круги, ни семи- и девятиугольники. Но откуда пчелы знают о таких геометрических тонкостях? И почему не используют более простые треугольники или квадраты, которые тоже легко подгоняются друг к другу?

Для того чтобы пережить маленькую «теорию», делаем простую математическую модель без единой формулы. Возьмем горсть одинаковых монет. Одну поставим в центр, а другие расположим вокруг так, чтобы все они соприкасались друг с другом. Мы увидим между ними похожие на треугольники зазоры, из-за которых круглой плиткой мы плоскость не замостим. Но вот что интересно – сколько бы раз мы не проделывали этот эксперимент, монеток по краям всегда будет ровно шесть!

Представим теперь, что монетки начинают раздуваться, как пузыри, пытаясь отвоевать друг у друга пустое пространство. Конкуренция деформирует личности и целые народы, чего уж говорить о кругах… В случае равномерного давления шесть точек соприкосновения разобьют окружность на шесть дуг, каждая из которых в конечном итоге распрямится в отрезок, и мы получим идеальное шестиугольное замощение. Круг, шар – наиболее естественная форма заполнения пространства – из центра во все стороны. При «честной» конкуренции круги становятся шестиугольниками. В случае же неравной борьбы получаются пятиугольники и другие альтернативные формы «замощения».

Вряд ли данная геометрическая метаморфоза объяснит нам шестиугольность бензольного кольца, но на устройство сот, клеток, а возможно, и на какие-то тайны геополитики, вероятно, прольет какой-то свет.

Фрактал «буржуйский сыр» и проколы в матрице

Однажды, наблюдая с сыном за поведением капель растительного масла в воде, я вновь пережил вспышку «теории», в пифагорейском смысле этого слова. В этот раз круги не давили друг на друга, как при кипении воды или в пчелиных сотах. Метаморфоза как будто свернула на соседнюю тропинку, и вместо привычных шестиугольников я увидел что-то вроде проколов в матрице.

Представим себе, что нам нужно замостить плоскость круглой плиткой сколь угодно малых размеров. Заполнить пространство как в случае с квадратами или шестиугольниками не получится: между окружностями всегда будут оставаться пробелы. Попытаемся заполнить их плиткой меньшего радиуса (именно так ведут себя пузыри, возникающие между пузырями). Очевидно, что пробелы не уйдут ни в этот раз, ни в следующий… Какие бы маленькие круги мы ни брали, всегда будет оставаться зазор, поэтому процесс можно потенциально продолжать до бесконечности.

Подобные структуры можно увидеть на поверхности свежесваренного кофе, в луже и везде, где давка не превращает их в многоугольники (хотя возможен и симбиоз, как в банке с мыльными пузырями).

Понятно, что в каждом случае процесс заполнения в какой-то момент заканчивается. Но то, что потенциально в природе, – актуально в математике, и чисто логически никто не мешает рассмотреть предельный случай, когда все пробелы заполнены бесконечностью уменьшающихся кругов. Данному математическому монстру я дал название «буржуйский сыр», что вполне характеризует экономические возможности данного принципа.

Технология «буржуйского сыра» позволяет получать видимость объема при сколь угодно малой плотности. Примеры тому пористый шоколад, воздушная кукуруза и даже современный хлеб. Конечно, идеал капиталиста – заданный объем при нулевой плотности – существует только в мире чистой математики. Интересна и «суперпористость» подобных материалов, они как бы бесконечно дышащие. Примечательно, что Декарт примерно так представлял структуру материи.

Впоследствии узнал, что данный объект называется сеткой Аполлония (он же «упаковка Лейбница») и обладает рядом труднопроизносимых математических свойств.

В этом всем удивительно то, что нерешаемая задача о заполнении плоскости кругами, естественным образом возникающая в природе, будто указывает на идеальный объект, которого в природе никогда не найти, но при этом он познаваем логически и является как бы недостижимой целью подобных процессов.

«Буржуйский сыр Аполлония» – хорошая иллюстрация того, что мир математики (а следовательно, и человеческий разум) в некотором смысле трансцендентен природе: он способен проникнуть туда, куда не проникнет ни один из компьютеров ни за какое число шагов. А это, в свою очередь, указывает на неполноту доступного глазу и микроскопу. На пробелы «в матрице», без которых в заколоченном наглухо физическом континууме было бы душновато.

Священный энергетизм гераклита

Представители естественно-научного лагеря часто ставят под сомнение какую-либо ценность философии, а некоторые даже говорят о необходимости ее упразднения. Для подобной точки зрения есть основания. Прежде всего – это хроническая ненадежность любой философской системы, отсутствие единой методологии и критериев, благодаря которым можно было бы назвать ту или концепцию более или менее истинной. И тем не менее множество людей снова и снова оставляют надежные данные физиков и химиков и отправляются в рискованное плавание среди таких понятий, как «бытие», «трансцендентальный», «априорный» и т. п.