Пушистые логарифмы

Однажды, спустя много лет после окончания универа, поддавшись ностальгии, я сел на трамвай, докатил до математического корпуса БФУ имени Канта и взял следующее интервью:

Андрей Сафонов (далее – А. С.): – Владислав Степанович, сейчас математика является обязательным предметом, но, если быть честным, у многих школьников она вызывает настоящий ужас. Все эти синусы, логарифмы… Понятно, что они нужны физикам, инженерам… Но, может быть, есть смысл освободить гуманитариев от того, что является для них почти пыткой?

Владислав Малаховский (далее – В. М.): – Как говорили китайцы, «математика – кузница мышления», и я уверен, что, даже если человеку не нужно будет в дальнейшей жизни решать тригонометрические уравнения, изучение математики – это лучшая школа мышления. После нее будет легко освоить все остальное.

А. С.: – Но говорят ведь, что люди делятся на естественников и гуманитариев и то, что легко для одного, другому просто не дано.

В. М.: – Я думаю, данное деление весьма условно. Есть одно мышление, которое можно применять к разным вещам. Я отчетливо вспоминаю, как меня, шестиклассника, привели в старшие классы, и я без единой описки записал все формулы сокращенного умножения. И это произвело на старшеклассников неизгладимое впечатление. И примечательно, что меня никто никогда не обижал в школе – уважали за знание математики.

Память меня выручила и во времена оккупации. Однажды в дом, где мы жили, зашли три немецких солдата, положили на стол оружие и ушли, сказали, что скоро за ним вернутся. А следом за ними зашел немецкий офицер и начал кричать: Warum hier liegt die Waffe? («Почему здесь оружие?») И вот, если бы я, будучи маленьким мальчиком, не рассказал ему бегло на немецком про солдат, нам пришлось бы худо. Тогда я пообещал себе, что если мы выживем, я буду изучать языки.

В 7-м классе я подумал, а раз так хорошо пошло – дай-ка я все кубы натуральных чисел до ста выучу, потом я стал учить логарифмы. Потом внутренний голос сказал: «Цифрами ты можешь погубить себя. Тренируйся на языках». В 9-м классе я решил изучать английский. Учителя по предмету не было, но это меня не остановило. Я попросил маму купить все учебники с 5-го по 11-й класс. У меня была еще адаптированная версия романа Вальтера Скотта «Айвенго», и я переписал ее от руки. А потом написал письмо директору о том, что хочу сдавать английский. На экзамене я не сказал ни слова на русском, и мне потом сказали, что школьницы отличницы стесняются после меня отвечать.

В университете занялся французским. Нам читали лекции по аналитической геометрии на русском, а мы с товарищем записывали их на французском. Потом я занялся итальянским…

Знание языков помогло в научных командировках за границу. Хотя Англии меня чуть не приняли за советского шпиона и проверяли на предмет алкоголя, азартных игр, женщин и т. п. Но меня ничего из этого не интересовало. В итоге меня спросили: «Профессор, неужели вам не скучно так жить?» Мне было не скучно.

А по поводу математики – помню, на первом курсе с нами учился один вундеркинд, который сидел на задней парте и даже не записывал ни одной лекции. К зимней сессии он бросил нам вызов: сказал, что сдаст все экзамены досрочно, за три дня. И мы договорились с товарищем проучить зазнайку. И вот мы втроем подаем заявления, что будем сдавать экзамены досрочно. Преподаватели были в шоке и хотели поставить нас на место. В итоге они гоняли нас по всем учебникам, по всем тонкостям, каждый отвечал около часа, но все получили пятерки. Потом, много лет спустя, я встретил нашего «вундеркинда» на одной научной конференции, я к тому времени был уже профессором и думал, до каких же высот мог он дойти за это время. Оказалось, что он стал скромным доцентом в университете местного значения. Это хороший пример того, что даже гениальные способности без дисциплины могут дать меньше, чем обычный талант плюс трудолюбие.

А. С.: – Вы являетесь признанным во всем мире специалистом по дифференциальной геометрии. Но более широкому читателю вы известны своими книгами о натуральных и простых числах. Для вас, знакомого со сложнейшими многомерными математическими структурами, что там может быть интересного?

В. М.: – Как-то раз ложусь спать и вижу сон: какой-то голос говорит мне: «Займись простыми числами». Я подумал, какой вздор – ведь в этой области уже все давно открыто. Но мне снова и снова снился этот сон. И я все-таки решил ими заняться. В результате мне удалось сделать удивительные открытия. Мне удалось найти ряд многочленов, которые задавали отдельные группы простых чисел.

А. С.: – То есть вы обнаружили не общую закономерность, а как бы отдельные структурированные островки?

В. М.: – Да. До сих пор закономерности обнаруживали только в распределении простых чисел. А мне удалось найти некоторые закономерности внутри самого ряда простых чисел.

А. С.: – Математик Пуанкаре говорил: «Неужели все многообразие математики сводится к простой логической тавтологии А = А?» Но то, что вы говорите, наводит на мысли, что существует некая объективная математическая реальность со своими законами, независящая от нашего физического мира. Кажется, подобные взгляды называются математическим платонизмом. Согласны ли вы с такой концепцией?

В. М.: – Да. Я вообще считаю, что числа свидетельствуют о той гармонии, которую вложил в наш мир Создатель.

А. С.: – Но многие считают, что наука и вера несовместимы. Вы не разделяете таких взглядов?

В. М.: – Конечно, нет! Почти все великие математики были глубоко верующими людьми. Кеплер, Декарт, Паскаль, Лейбниц, Гаусс… Мне нравится высказывание святителя Игнатия Брянчанинова: «Мечтатели сделались безбожниками, а изучившие глубоко математику всегда признавали не только Бога, но и христианство»

.

А. С.: – Вам лично вера помогала в жизни?

В. М.: – Конечно. Очень часто судьба спасала меня от неприятностей и смерти. В конце концов я стал верить в Бога. Все жизненные сложности помогала преодолеть внутренняя вера: если я поступаю правильно, мне всегда помогут. Всевышний всегда поможет – вот мое кредо.

А. С.: – Вообще, это странно для человека вашего поколения, воспитанного в атмосфере атеизма.

В. М.: – Я абсолютно верил в советские идеалы. Считал, что они требуют добросовестности, порядочности и стремления быть первым. Я никогда не мог подумать, что верхушка партии состоит из предателей и мерзавцев, и меня постигло большое разочарование, когда я это понял.

А. С.: – С какими основными проблемами, на ваш взгляд, столкнутся наука и образование в XXI веке?

В. М.: – На мой взгляд, главные опасности – это повсеместная компьютеризация и пренебрежение чистой математикой. Человеческое мышление постепенно пытаются подменить машинным. Одного французского школьника спросили: сколько будет 2+3? Он ответил: «По закону коммутативности это будет столько же, сколько 3+2», после чего достал калькулятор. Сегодня технологиями пытаются подменить мозг человека, а это неправильно, поскольку мозг больше компьютера и мы все еще убедимся в необходимости чистой математики – фундамента для всех наук.

Узоры хаоса

Нелинейное время для творчества

Что такое время, человечество пыталось понять на протяжении всей своей истории. Парменид, к примеру, видел все подверженное изменениям полностью иллюзорным, Платон считал время движущейся вечностью, а Кант – формой нашего восприятия, превращающей непостижимый мир «вещей в себе» в привычную нам реальность. Всех концепций не перечесть, однако примерно с XVII века в массовом сознании доминирует то понимание времени, которое возникло в физике Ньютона, а потом начало захватывать все новые научные области.

Математически подход Ньютона сводился к тому, что любой процесс в природе можно описать интегрируемым дифференциальным уравнением. В переводе на общечеловеческий язык это означало: любой процесс абсолютно предсказуем – зная, где находится материальная точка, будь то планета или частица, мы сможем с помощью соответствующего уравнения узнать, где она будет через час, год и т. п. Вселенная в описании Ньютона напоминала огромные часы, где от стрелки не стоило ждать никаких сюрпризов.

Постепенно эта парадигма превратилось в целую философию, где мир является не более чем сложной машиной. Французский физик Лаплас в XVIII веке дошел до того, что предположил возможность гигантского вычислителя, который, если в него вбить все данные о текущем состоянии вселенной, мог бы предсказать абсолютно все. Подобное чудовище назвали «демон Лапласа» и, действительно, в данной концепции есть нечто демоническое. Ведь если предположить, что все наши действия предопределены еще на уровне атомов и молекул, то не останется места для свободы, для творчества, для любви. Все человечество превращается в бессмысленную армию роботов, которые рано или поздно сломаются.

К таким выводам приходила физика вплоть до XX века. Но потом что-то начало сдвигаться.

Сначала Эйнштейн придумывает свою теорию относительности, которая подвинула в сторонку физику Ньютона. Последняя осталась эффективной для описания локальных процессов, но потеряла монополию на объяснение всего. Тем не менее в парадигме Эйнштейна места для свободы не больше, чем на территории демона Лапласа. Время у него превратилось в четвертое измерение пространства – будущее уже есть, так же как прошлое и настоящее. Это просто точки в четырехмерном геометрическом многообразии, а то, что мы воспринимаем их не так, – наши проблемы.

Однако ветер свободы все-таки ворвался в науку. При изучении микроскопических частиц энергии – квантов – обнаружилось, что эти частицы ведут себя совершенно странным образом. Оказалось, есть некий принцип неопределенности, из которого вытекает: определить положение частицы можно только в рамках теории вероятности, т. е. элемент детерминизма классической физики исчезает. Демон Лапласа не сможет просчитать пути квантовых объектов, т. к. они, по крайней мере отчасти, подчиняются законам случайности.

Из открытий квантовой физики выросло множество научных и философских концепций. Одной из наиболее ярких стала теория хаоса Ильи Пригожина. Илья был блестящим математиком и химиком русского происхождения и, по его словам, всю жизнь пытался разгадать парадокс времени. Неужели мир – просто предсказуемые бильярдные столкновения частиц, или есть нечто большее? Илья обратился к работам французского философа Анри Бергсона, считавшего, что время нельзя сводить к пространству, что время есть непрестанное становление нового. Можно сказать, Пригожин нашел математическую интерпретацию для идей Бергсона. Да, уравнения Ньютона работают, когда речь идет о кеглях или движении Луны. Но когда мы попадаем в мир квантов, в мир хаотической динамики, то сталкиваемся с таким понятием, как бифуркация – в определенные моменты система может с равной вероятностью развиваться по одной из траекторий. Точно так же, как в определенный момент человек может сделать выбор: свернуть налево или направо, быть или не быть. Таким образом, однозначного будущего в рамках этой концепции нет – есть постоянный выбор между потенциальными возможностями, и возможности способны влиять на настоящее, как бы притягивая его к себе (см. ниже статью про аттракторы). На смену железной руке необходимости приходят артистические руки, рисующие друг друга.

Что означали для науки эти сдвиги в парадигмах? Очень многое.

К примеру, то, что научный взгляд на мир не противоречит свободе, не противоречит ответственности за свои поступки, не противоречит творчеству. Вселенная напоминает скорее не ньютоновские часы и не демона Лапласа, а гигантскую мастерскую, где создается нечто абсолютно новое. Кто это новое создает – только ли человек, природа или некий высший разум, ткущий узоры из квантов, – современная наука оставляет за скобками.

Эффект бабочки и лаборатория хаоса

В 1972 г. американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц выступил с лекцией, в которой сделал сногсшибательное утверждение: взмах крыла бабочки в Бразилии может привести к изменениям в атмосфере, которые в свою очередь приведут к торнадо в Техасе. Свой вывод он подкрепил компьютерной моделью, убедительно показывающей, что да, может. Изыскания Лоренца положили начало математической теории хаоса. А термин «эффект бабочки» со временем стал популярной метафорой того, как ничтожные изменения начальных условий приводят к самым непредсказуемым последствиям. История дает массу иллюстраций для данного эффекта: так, в августе 1914-го выстрел молодого террориста Гаврила Принципа в австрийского эрцгерцога привел к началу Первой мировой войны, а пьяная выходка в баре английского парламентария Эрика Джойса в 2012 г. привела к изменению в руководстве лейбористской партии, что послужило причиной выхода Британии из Евросоюза.

С эффектом бабочки мы постоянно сталкиваемся и в обычной жизни: иногда от того, куда человек сворачивает на перекрестке, зависит встреча с будущим супругом, а от случайно брошенных слов учителя – выбор будущей профессии. Если допустить, что любое событие имеет такие далеко идущие следствия, то мы окажемся в совершенно непредсказуемом и хаотическом мире. К счастью, эффект бабочки работает не всегда: мы видим, как стабильно восходит каждое утро солнце, знаем, как стабильно циркулирует кровь в венах, а легкие вдыхают и выдыхают воздух.

Одно из ключевых понятий теории хаоса – устойчивость. Например, качающийся маятник – устойчивая система, т. к. в конце концов останавливается в заданной точке, а кружка, стоящая на краю стола, – неустойчивая: одного неосторожного движения достаточно, чтобы она упала и разлетелась на множество мелких кусочков. Понятно, что эффект бабочки действует в неустойчивых системах. Часто система в целом устойчива, но имеет моменты неустойчивости, где малейшее изменение приводит к совершенно разным результатам.

Какие же возможности все это открывает перед нами? Примечательно: наиболее богатой бифуркациями системой в природе является человеческий мозг. Каждый из миллиардов нейронов связан примерно с 10 000 других нейронов, что порождает бездну возможных сигналов.

Если взглянуть на другую сторону медали, мы увидим: фактически все то, без чего сложно представить жизнь современного человека, будь то дома, книги, фильмы, песни, автомобили, айфоны, интернет, – было когда-то мыслями, стремительно пронесшимися в чьей-то голове. Интересно, какие же тогда мысли могут возникнуть в нашем сознании?

Мозг – настоящая лаборатория хаоса, в которой могут родиться идеи, меняющие мир. Остается только не упустить взмаха крыльев своей заветной бабочки.

Сокровенные аттракторы мечты

Слово «аттрактор» (от английского attract – привлекать) изначально возникло в узкоспециальной области дифференциальных уравнений, описывающих хаотические процессы, но сегодня приобретает все большую популярность даже в гуманитарных областях.

Наблюдая за, казалось бы, совершенно непредсказуемым поведением динамических систем, описывающих погоду или движение акций на рынке, математики обнаружили удивительную вещь: подобно скрытым узорам на бумаге, в хаотических процессах вырисовываются правильные структуры.

В какой-то момент запутанные траектории начинают «наматываться» на определенные контуры. К примеру, если заставить точку скакать по специальной формуле, где коэффициенты определяются случайным образом (скажем, через бросание кости), в конце концов она станет прыгать в точности по множеству, изображенному на рисунке, – «ковру Серпинского».

На этих законах основана оригинальная технология сжатия изображений: оказывается, для каждого изображения можно найти аналогичную формулу, которая заставит произвольную точку на мониторе вырисовывать то, что нужно.

Данная идея стала одной из ключевых в недавно родившейся на стыке теории хаоса и философии дисциплине – синергетике. Синергетика сосредотачивается на бесчисленных примерах самоорганизации в самых разных областях. Аттракторы встречаются в турбулентных течениях, на фондовых биржах, в образовании галактик, в работе мозга, и это наводит на предположение, что подобное вырисовывание узоров из хаоса – одно из базовых законов мироздания.

Целый вихрь интересных мыслей возникает, если приложить идею аттрактора к человеческой жизни. Что, если в нашей судьбе присутствуют своего рода «притягивающие множества»? К примеру, человек задумал написать книгу. И эта еще не написанная книга уже начинает из будущего выстраивать вокруг себя события его жизни. Ситуация, не имеющая для другого никакого значения, оказывается недостающим звеном для сюжета, полученные из книг и интернета случайные сведения – материалом, из которого ткется проявляющееся постепенно из небытия произведение.