Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Возникает вопрос, имеется ли такая связь для фотона, который не является нерелятивистской частицей, а всегда движется со скоростью c (если считать, что фотон – частица с нулевой массой). Этот вопрос обсуждался в литературе, и некоторые авторы (например, Ахиезер и Берестецкий в своем фундаментальном учебнике по квантовой электродинамике) утверждали, что у фотона вообще нет волновой функции в координатном представлении. Соответствующие аргументы хорошо известны и, например, в моих работах они обсуждаются. Но то, что какая-то координатная волновая функция фотона должна существовать, очевидно из простых соображений. Например, если фотон, испущенный Сириусом летит к Земле, то теория должна определять, хотя бы приблизительно, где находится этот фотон в данный момент времени: еще в окрестности Сириуса, на полпути, близко к Земле и т. д. Еще Паули писал, что координата фотона не может быть измерена лучше чем его длина волны. Но у фотонов от звезд длины волн такие маленькие, что измерение координат с такой точностью вполне достаточно.

Координатную волновую функцию фотона рассматривали многие авторы. Их результаты отличаются спиновыми членами и поведением на расстояниях меньше или порядка длины волны. Но движение фотона от звезды к нам имеет смысл рассматривать только в квазиклассическом приближении. В этом приближении вклады спиновых членов и поведение на расстояниях порядка длины волны несущественны. Если эти вклады не рассматривать, то у всех авторов координатная и волновая функция фотона связаны преобразованием Фурье как и в стандартной квантовой механике.

Поэтому оценить расплывание фотонов от звезд нетрудно. Результат зависит от предположений о том в каких реакциях эти фотоны рождаются. Но, даже в самых оптимистичных сценариях, волновые функции фотонов родившихся на Сириусе приходят к нам с размерами десятки миллионов километров или даже больше. Сириус – самая яркая звезда на небе, которая находится от нас на расстоянии "всего" 8.6 световых лет. А волновые функции фотонов от других звезд имеют намного большие размеры, которые могут быть даже порядка световых лет и больше.

Итак, если мы принимаем стандартную квантовую теорию, то получается, что фотоны от звезд движутся к нам не по классическим траекториям, а их волновые функции имеют громадные размеры. Противоречит это тому как мы видим звезды или нет? Казалось бы, вопрос настолько очевиден, что уже давно ответ должен быть хорошо известен и это должно объясняться даже в учебниках по общей физике. Но я спрашивал разных физиков и у них разные мнения.

Одно из объяснений такое. Фотоны от звезд летят к нам не в пустоте, а в межзвездной среде. Поэтому фотоны нельзя считать свободными т.к. они могут взаимодействовать с частицами из среды. Допустим, фотон поглотился какой-то частицей и переизлучился. Тогда его волновая функция уже не будет иметь больших размеров; она будет иметь размеры порядка размеров детектора и произойдет так наз. коллапс волновой функции. Поэтому в каком-то приближении опять можно считать, что фотон приблизительно движется по траектории.

Такое объяснение имеет историческую аналогию. Знаменитая история, что когда Hubble открыл разбегание галактик в своей обсерватории Mount Wilson возле Лос Анджелеса, то к нему приехал Эйнштейн и сказал знаменитую фразу, что введение ? было самой большой ошибкой его жизни. В то время заключение о расширении Вселенной было сделано, исходя из эффекта Допплера, что чем быстрее объект от нас удаляется, тем сильнее красное смещение. Теперь теория стала более сложной т. к. привлекают ОТО и рассматривают еще космологическое и гравитационное красное смещение. Но некоторые физики считали, что объяснение не в Допплер эффекте, а в том, что чем дальше объект от нас находится, тем большую энергию теряет фотон от него т. к. он взаимодействует с большим числом частиц. Этот подход называется tired light.

Однако, в настоящее время подход tired light отвергнут establishment’ом. Считается, что объяснение такое, что, если бы взаимодействия фотонов с межзвездной средой были бы существенными, то изображения звезд были бы не ясными, а расплывчатыми. Если это объяснение принимается, то можно считать, что в хорошем приближении фотон летит к нам как свободная частица, и проблема с большими размерами волновых функций фотонов от звезд остается. Мое понимание этой проблемы менялось и одно время кое в чем оно было ошибочным. Об этом – ниже. Но буду описывать эту историю в хронологическом порядке.

Если волновая функция фотона действительно так сильно расплывается, то сразу возникает несколько проблем. Например, объяснение, что мы видим пульсары такое. Это нейтронные звезды, которые имеют радиус порядка 10 км, массу порядка солнечной, сильное магнитное поле, быстро вращаются и находятся от нас на расстояниях в тысячи световых лет. Мы видим сигнал от них только в то короткое время когда он направлен на нас. В популярной литературе это сравнивают с лучом маяка. Но если бы волновая функция фотона так сильно расплывалась, то ничего похожего не могло быть. Аналогичная ситуация с гамма-всплесками (gamma ray bursts), источники которых могут находиться от нас на расстояниях даже миллиарды световых лет.

Эти проблемы очевидные. Но я думал (ошибочно), что главная проблема в том, что если волновая функция фотона так сильно расплывается, то мы не должны видеть отдельных звезд, а только фон от всех звезд. Но теперь мне кажется, что парадокс еще более необычный. Эта проблема будет объяснена ниже. Но, независимо от того, есть эта проблема или нет, возникает такой вопрос: правило, что координатное и импульсное представления связаны преобразованием Фурье – это закон, который следует из каких-то теоретических соображений, из экспериментальных данных или из чего?

Разные авторы приводят разные соображения в пользу этого правила. Например, Heisenberg рассматривал мысленный парадокс с микроскопом, Dirac предложил гипотезу, что коммутатор операторов координаты и импульса должен быть пропорционален классической скобке Пуассона с коэффициентом ih, Ландау и Лифшиц пишут, что при таком правиле получается правильное квазиклассическое приближение и т.д. В лучшем случае эти соображения являются лишь аргументами, что правило разумное. Нет обсуждений того есть ли другие правила и какие из них лучше. Исторически сложилось так, что правило было принято с самого начала квантовой теории и настолько прочно укоренилось в сознании квантовых физиков, что многие даже не думают, что может быть как-то иначе. Из этого правила следуют знаменитые соотношения неопределенностей, которые обсуждаются даже в популярной литературе. Однако, как отмечено выше, из этого правила неизбежно следует эффект расплывания и тогда возникают проблемы.

Я показал, что на самом деле стандартный оператор координаты не дает правильное квазиклассическое описание и предложил оператор, который дает такое описание. И тогда получается, что в направлении перпендикулярном импульсу, расплывания нет, а для фотона нет расплывания и в продольном направлении. Поэтому для фотона нет расплывания вообще, фотоны действительно движутся к нам приблизительно по классическим траекториям и проблемы отмеченные выше не возникают.

Естественно, что эти результаты я пытался опубликовать. Подход разных журналов и физиков с которыми я пытался обсуждать эти результаты был такой. Мой оператор координаты вообще никто не хотел рассматривать. Все исходили из того, что стандартное соотношение между операторами координаты и импульса правильное, но никто не пытался привести аргументы в пользу этого. Просто исходили из того, что это надо принять и парадоксов быть не может. Аргумент одного из рецензентов в Physical Review D был такой, что звезды мы видим и поэтому проблемы нет. А другой рецензент даже не понимал смысл расплывания.

Теперь я понимаю, что в ответе члена editorial board было что-то разумное. Он привел задачу, которую рассматривали Mott и Heisenberg. Допустим, что есть источник, излучающий ?-частицы в сферически симметричных состояниях. Но когда такие ?-частицы попадают в камеру Вильсона, то там они оставляют прямолинейный след, который создает впечатление, что до попадания в камеру частицы двигались по прямолинейным траекториям. Однако, сферически симметричный случай я рассматривал в статье и писал, что проблемы нет, а проблема есть только для фотонов, которые образовались в состояниях волновых пакетов. Может быть, этот член редколлегии имел в виду, что аналогичный аргумент применим и для состояний пакета, но об этом сказано не было.

Я подумал, что, наверное, статью не хотят рассматривать потому что меня не знают и видят, что автор из какой-то непонятной конторы. Поэтому решил послать в Успехи Физических Наук, который считается самым престижным физическим журналом России. В. Л. Гинзбург был его редактором до самой кончины и поэтому у меня была надежда, что журнал сохранил свой уровень.

Первый рецензент написал, что у меня высокий уровень, но проблемы нет. Рецензент пишет: "О том что статья дискуссионная говорит и сам автор. Цитирую: «мой расчет в стандартной теории показывает…, что мы вообще не должны видеть отдельные звезды…». Слава Богу, мы их видим.” Т.е., аргумент почти такой же как у рецензента в Physical Review D, но даже более сильный т. к. и Бог привлекается. Другие аргументы рецензента показали, что он не понимает основы квантовой теории фотона, но, по крайней мере, рецензия была вежливой. Я написал вежливый ответ с объяснениями почему аргументы рецензента неправильные.

Но статью дали другому рецензенту, который даже не захотел комментировать мой ответ, а написал отзыв, который был не только безграмотный, но и хамский. Рецензент пишет: “Данная работа написана на непрофессиональном уровне. Результаты, основанные на грубых ошибках, закопаны в большом количестве общеизвестных фактов из учебников по квантовой механике.” Казалось бы, если он утверждает о грубых ошибках, которые я как-то закопал, то задача рецензента – раскопать их и показать явно где ошибки, например, сказать, что в таком-то месте у автора написано 2+2=5, а должно быть 2+2=4. Но таких утверждений нет.

Он решил, что нашел опровержение моего главного аргумента: “"Парадокс", изложенный в разделе 7, основан на грубой ошибке. А именно, автор объявил «классическим» состояние (32), в котором числа заполнения всех состояний равны 1 или 0. Это противоречит стандартным условиям больших чисел заполнения в квазиклассическом состоянии. Состояние (32) не описывается классическим решением уравнений Максвелла, что и является разрешением «парадокса». Кстати, «когерентные» состояния, упомянутые в разделе 8, как раз являются классическими (опять вопреки утверждению автора)”.

Из этой фразы сразу видно, что рецензент не понимает основ квантовой теории т. к. в ней уравнениями Максвелла могут описываться только операторы, а не состояния. О непонимании квантовой теории говорит и предложение о больших числах заполнения и последнее предложение. Остановлюсь на этих вопросах более подробно.

Обычные фразы такие, что классическая теория применима когда фотонов много, а когда их мало, то надо применять квантовую теорию. Так написано даже в некоторых учебниках, например в книге Mandel and Wolf “Optical coherence and quantum optics”. Но все не так просто. Конечно, классическая теория может применяться только в случаях когда фотонов много, но это условие недостаточно. Есть еще один параметр – число возможных состояний. Если это число намного больше чем число фотонов, то средние числа заполнения намного меньше единицы, обменное взаимодействие несущественно и применима статистика Больцмана, которая является классической. Однако, если число возможных состояний порядка числа фотонов или меньше, то средние числа заполнения уже не намного меньше единицы, обменное взаимодействие становится существенным и применима статистика Ферми для фермионов или статистика Бозе для бозонов. Т.к. обменное взаимодействие – чисто квантовый эффект, который не имеет классического аналога, то вопрос о том какой случай классический, а какой квантовый – это не вопрос терминологии, а вопрос по существу. Все это объяснено в стандартных учебниках по статистической физике, например, в учебнике Ландау и Лифшица. В частности, когерентные состояния в лазерах – это такие состояния, когда числа фотонов намного больше числа состояний. Поэтому здесь, хотя фотонов много, но это чисто квантовый случай, а не классический.

Теперь я вижу, что несмотря на непонимание рецензентом основ квантовой теории, в рецензии есть что-то положительное. Рецензент пишет: “… При этом, абсолютно неважно, имеет ли волновая функция фотона вид узкого расходящегося луча или вид сферической волны. После преломления в линзе телескопа или в хрусталике глаза, волна с фиксированным направлением волнового вектора собирается в точечку – изображение звезды.”

В то время я не воспринял эти слова серьезно т.к. хамство рецензента и его непонимание основ квантовой теории сразу настроили меня на то, что ничего умного он сказать не может. Но когда потом стал обсуждать этот вопрос с другими физиками, некоторые из них говорили примерно такие же слова. Я спрашивал у них примерно одно и то же. Мой стандартный квантовомеханический расчет показывает, что из-за расплывания, фотоны от данной звезды будут приходить к нам с разными импульсами, а не только с теми, которые направлены от звезды к Земли. А то, что вы говорите, это как-то подтверждается расчетами? Какими, классическими или квантовыми? Все отвечали примерно одно и то же: это следует из простой физической интуиции. Т.е., было ясно, что мозги у нас устроены по разному: видимо, у меня нет физической интуиции и я доверяю только расчетам, а они считают, что и без расчетов это очевидно.

Наконец, Толя Камчатнов, с которым мы вместе учились в 527й группе МФТИ, начал приводить новые аргументы почему прав он, а не я. Мы обменялись примерно 50ю письмами. Наконец, я понял как поставить задачу, чтобы результат можно было подтвердить квантовомеханическим расчетом. И оказалось, что прав он и другие, которые говорили похожие слова, а я неправ.

Поэтому в тех статьях, которые я посылал в Physical Review D и в Успехи Физических Наук, одно из самых важных утверждений было ошибочным. Если бы рецензенты четко об этом написали, то я был бы им благодарен и ясно, что никаких претензий у меня не было бы. Но когда аргументом является то, что слава Богу, звезды мы видим или то, что мое квантовое состояние не удовлетворяет уравнениям Максвелла, то после этого уже трудно всерьез относиться к рецензии.

Итак, если принять мировоззрение Толи Камчатнова и других людей, которые говорили похожие вещи, то получается следующая картина. Фотоны от звезд идут к нам не по классическим траекториям т.к. волновые функции фотонов сильно расплываются и могут иметь размеры даже порядка световых лет. Но с вероятностью близкой к единице, фотоны от данной звезды будут приниматься только с импульсами, направленными от звезды к нам. Т.е., это обобщение задачи Мотта-Гайзенберга на случай, когда волновая функция фотона не обязательно симметрична и это может быть подтверждено расчетом.

Я спрашивал у Толи и других, а как же быть тогда с наблюдением пульсаров и гамма-всплесков? Но они говорили, что это отдельная история, с которой надо разбираться. А на вопрос о том, следует ли правило, что координатные и импульсные волновые функции связаны преобразованием Фурье, из каких-то теоретических соображений или из эксперимента, ответ был такой, что в истории с расплыванием теория не противоречит эксперименту и это аргумент в ее пользу. Но даже если Толя и эти люди правы, то непонятно, почему этот вопрос никак не описан в учебниках, даже в учебниках по общей физике. Как я отмечал выше, многие физики об этом вообще не задумывались и думают, что фотоны от звезд идут к нам по приблизительно классическим траекториям.

И все же, думая над этой проблемой, я пришел к выводу, что ситуация когда волновые функции фотонов от звезд имеют громадные размеры, не соответствует тому, что мы наблюдаем. Чтобы объяснить это по возможности проще, рассмотрим случай, когда волновая функция фотона, испущенного звездой сферически симметрична. Тогда простой расчет показывает, что волновая функция фотона является сферой, которая в каждый момент времени t имеют радиус ct и некоторую очень маленькую толщину a, которая не меняется со временем. Со временем радиус этой сферы становится все больше и больше, и, если расстояние от звезды до Земли равно L, то по дороге к нам, сфера проходит через все звезды и планеты, которые находятся от звезды на расстоянии меньше L, даже те звезды и планеты, которые находятся от звезды в направлении противоположном направлению на Землю.

Возникает вопрос: почему такой фотон был зарегистрирован на Земле и не был зарегистрирован на звездах или планетах через которые прошла волновая функция фотона? Ответ может быть такой, что процесс регистрации фотона чисто вероятностный: просто нам повезло, что фотон решил осчастливить нас и дал себя зарегистрировать глазом или телескопом. Но тогда возникает другой вопрос. Если по дороге к нам фотон прошел звезды и планеты не будучи зарегистрирован там, то примерно с такой же вероятностью он может пройти Землю и быть зарегистрирован на противоположной стороне Земли. И тогда мы бы видели звезды сквозь Землю.

Более того, рассмотрим такой эксперимент. Допустим, мы смотрим на звезду, а потом перед глазом и звездой помещаем маленький экранчик. Тогда опыт говорит, что мы не можем видеть звезду через экранчик. Но раз волновая функция фотона прошла через столько звезд и планет на ее пути, то, примерно с такой же вероятностью, она пройдет через экранчик и фотон будет зарегистрирован глазом за экранчиком, так что мы сможем видеть звезду через экранчик.

Такая ситуация не кажется слишком необычной в свете того, что мы знаем о нейтрино. Мы знаем, что нейтрино могут не только легко проходить сквозь Землю без взаимодействия с ней, но даже нейтрино, родившиеся в центре Солнца без проблем доходят до Земли. Основные нейтринные детекторы находятся глубоко под Землей и, например, в экспериментах OPERA и ICARUS, нейтрино образованные в CERN шли до лаборатории в Gran Sasso в Италии примерно 730 км через Землю. Объяснение такое, что т. к. при малых энергиях слабое взаимодействие действительно слабое, то вероятность взаимодействия нейтрино с атомами или молекулами внутри Солнца и Земли очень маленькая. Фотон взаимодействует с такими атомами или молекулами не слабо, а электромагнитно. При малых энергиях электромагнитное взаимодействие намного сильнее слабого. Но, с другой стороны, т.к. волновая функция фотона имеет громадные размеры (световые годы или больше), то вероятность взаимодействия такого фотона с каждым данным атомом или молекулой намного меньше чем для нейтрино от Солнца.

Казалось бы, проблема очевидная, но некоторые физики, с которыми я ее обсуждал, сказали, что и здесь проблемы нет. По их мнению, ситуация здесь аналогична дифракции в классической электродинамике.

Действительно, рассмотрим случай, когда широкая волна налетает на объект, размеры которого намного меньше чем ширина волны. Тогда, после прохождения объекта, часть волны, которая была далеко от объекта не изменится, в той части волны, которая была внутри объекта, возникнет дырка и проблема только в том что произойдет с той частью волны, которая близка к границе объекта. Классическая теория говорит, что когда волна отойдет от объекта на расстояние, называемое радиусом Рэлэя, то дырка затянется и все будет похоже на ситуацию как будто объекта не было бы. Поэтому, если бы аналогия с классикой работала, то проблем не было бы: сразу после прохождения объекта волновая функция фотона была бы равна нулю сразу за объектом и не могло бы быть ситуации, когда фотон регистрируется на обратной стороне Земли или за экранчиком.

Однако, такой аналогии с классикой не может быть из нескольких соображений. Во-первых, качественное объяснение классической дифракции очевидно из того факта, что классическая электромагнитная волна состоит из многих фотонов. Действительно, предположим, для простоты, что эти фотоны – (почти) точечные. Тогда с теми фотонами, которые не попадают на объект, вообще ничего не происходит, а те фотоны, которые попадают на объект – поглощаются этим объектом. Но в нашей проблеме мы имеем дело только с одним фотоном, волновая функция которого не (почти) точечная, а имеет громадные размеры.

Во-вторых, волновая функция элементарной частицы не может интерпретироваться как классическая волна. Термин "волновая функция" возник при создании квантовой теории для объяснения квантовых явлений на классическом языке, но такого объяснения не существует. Например, рассмотрим электрон, электрический заряд которого равен e. Тогда величина e|?(r)|

не может считаться плотностью заряда электрона в точке r (по крайней мере в классическом смысле) потому, что заряд электрона неделим. А если dV – элемент объема в точке r, то |?(r)|

показывает не какая часть электрона находится в этом элементе объема, а только с какой вероятностью электрон как целое может быть обнаружен в этом элементе объема. Я думаю, что, например, термин "вектор состояния" более подходящий, но так сложилось исторически, что используется термин "волновая функция", хотя волна – это классическое состояние, в котором есть много частиц.

Один из физиков, отстаивающих аналогию с классической дифракцией, привел такой аргумент. В момент когда фотон только подлетел к объекту, волновую функцию фотона можно представить в виде ?=?’+?” где ?’– часть волновой функции внутри объекта, а ?” – ее часть вне объекта. Пусть ? – волновая функция объекта. Тогда начальная волновая функция системы объект+фотон равна ??=??’+??”. Результат взаимодействия фотона с объектом описывается действием S-матрицы на волновую функцию начального состояния: S??=S??’+S??”. Так как часть ?” волновой функции не взаимодействует с объектом, то S??”=??”. С другой стороны, часть ?’ волновой функции фотона будет обязательно поглощена объектом, и, в результате этого, объект перейдет в некоторое возбужденное состояние ?

. Итак, после прохождения волновой функции фотона через объект, волновая функция системы объект+фотон будет ?

+??”. Поэтому, если сработает вероятность, что фотон не поглотится объектом, то волновая функция фотона после прохождения объекта будет ?”, и не может быть ситуации когда фотон будет зарегистрирован в геометрической тени объекта.

Эти аргументы интересные, но, как будет отмечено ниже, я думаю, что они неправильные. Я предложил этому физику написать совместную статью, в которой он будет отстаивать эти аргументы, а я буду приводить контраргументы, но он отказался и просил не называть его имя. Тогда я попросил его разрешения привести эти аргументы в своей статье с указанием, что аргументы предложены им. Он дал согласие, но просил не упоминать его имя.

Я думаю, что эти аргументы не могут быть правильными из следующих соображений. Во-первых, так как в квантовой теории координаты обязательно имеют какие-то неопределенности, то разложение ?=?’+?” не может быть однозначно определено. Но допустим, что оно может быть определено в каком-то приближении. Тогда результат ?

+??” показывает, что фотон всегда провзаимодействует с объектом т.к. нет ситуации когда волновая функция фотона после прохождения объекта осталась бы такой же как и до прохождения объекта. Но только часть ?’ волновой функции фотона взаимодействует с объектом, а часть ?” не взаимодействует вовсе.

Пусть ?’=|| ?’||

– норма состояния ?’, а ?”=|| ?”||

– норма состояния ?”. В ситуации, которую мы рассматриваем, ?’<<?”, а если волновая функция фотона нормирована на единицу, то ?’+?”=1. Критический момент в этой проблеме такой: если ?’?0, то это не значит, что ?’ часть фотона находится внутри объекта. Как отмечено выше, элементарная частица не имеет частей. В отличие от классического случая, ?’ имеет смысл не такой, что ?’ часть фотона находится внутри объекта, а только то, что вероятность ?’ найти фотон как целое внутри объекта ?0. Поскольку вероятность того, что фотон провзаимодействует с объектом <=?’ то эта вероятность очень маленькая, и с вероятностью >=(1-?’)= ?” фотон вообще не провзаимодействует с объектом. Поэтому конечное состояние системы объект+фотон можно записать не как выше, а как ?

+c

??, где |c

|

– вероятность того, что фотон не провзаимодействует с объектом. Так как эта вероятность очень близка к единице, то скорее всего, после прохождения объекта у фотона будет такая же волновая функция как и до подхода к объекту. Поэтому проблема, что фотон может быть зарегистрирован за объектом, остается.

Такой вывод также очевиден из квантовой электродинамики. Здесь взаимодействие фотона с частицами описывается фейнмановскими диаграммами, вершины которых содержат только один фотон – входящий или исходящий. На этом языке любой процесс взаимодействия фотона описывается так что, когда входящий фотон поглощается частицей, то в промежуточном виртуальном состоянии фотона нет вообще; он может или полностью поглотиться или родиться из промежуточного состояния заново как целое. Не может быть ситуации, когда часть ?’ волновой функции фотона взаимодействует, а часть ?” не взаимодействует.

Итак, для одного фотона аналогия с классической дифракцией не имеет места потому что фотон – элементарная частица и не имеет частей. Как следствие, если мы принимаем, что координатные и волновые функции связаны преобразованием Фурье, то нельзя избежать парадоксов описанных выше. Но, если строить оператор координаты как предложено в моей работе [19], то расплывания нет, волновая функция фотона не имеет космических размеров, фотон движется почти как точечная частица по классической траектории и парадоксов не возникает.