Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 4: Поверх методологических границ

По-видимому, целесообразно рассматривать любую формальную логическую систему как «знаковую систему». Эту систему можно представить себе как результат применения своего рода «гомоморфизма», упрощающего систему отношений, существующую в естественном языке, т.е. искусственный язык с более простой грамматикой и семантикой, снимающей некоторые неопределенности и неоднозначности, существующие в естественном языке. Ряд выразительных возможностей естественного языка при этом утрачивается.

Естественно-языковую аргументацию можно рассматривать как средство трансформации знаний[17 - О фундаментальной роли понятий «знание» и «представление знания» в когнитивных науках см.: [Bobrow, Collis, 1975].], выраженных естественно-языковыми средствами [Сергеев, 1984]. Соответственно правила вывода в формальной системе трансформируют знания, выраженные средствами формальной системы, аксиомы же представляют из себя «базисное знание». Однако нетрудно заметить, что при таком подходе к формальной логике в центре внимания оказываются вопросы семантики и концептуального анализа (в смысле Р. Шенка), которую традиционная математическая логика вообще пыталась изгнать из рассмотрения.

Отсутствует в традиционной математической логике и понятие модальности, т.е. способа существования объекта. Между тем логика существования является весьма сложным и запутанным предметом, уже в древности порождавшим самые разнообразные взгляды[18 - Ср. например, «неподвижное бытие» Парменида, «диалектику пустоты» Нагарджуны, «Эйдосы» Платона.]. Способ существования математических объектов – по сей день весьма темный вопрос; ведь именно с ним связаны столь острые дискуссии об основаниях математики – например, борьба между «интуиционистами» и «формалистами» [Representation… 1975]. Разрубание «гордиева узла» путем признания только двух способов существования оппозиций «истина» – «ложь» существенно примитивизирует эту проблему.

Задачей настоящей работы является исследование формальных логических систем, в также возникающих в этих системах парадоксов с точки зрения семиотики.

Формальная логика и семиотические различения

Как для современной математической логики так и для семиотики основополагающими являются работы Г. Фреге [Фреге, 1977; Фреге, 1978]. Именно в этих статьях и была произведена чрезвычайно важная работа по логической семантике, сделавшая возможной быстрый прогресс математической логики, здесь же были выработаны и обоснованы основные понятия семиотики. На основании анализа естественно-языковых примеров Фреге сумел привести ясные логические аргументы для различения смысла, имени и денотата слова, провести разделение в логическом употреблении слов «вещь» и «понятие», однако это разделение не нашло в полной мере отражения в формальной логике. Основой формализма, исчисления предикатов, и исчисления высказываний стала другая идея Фреге.

В работе «Смысл и денотат» Фреге рассмотрел вопрос о денотате предложения. Он писал: «Итак, мы установили, что вопрос о денотате предложения тесно связан с вопросом о денотатах его частей, а этот вопрос можно ставить тогда, когда нас интересует истинно предложение или ложно. Мы вынуждены, таким образом, признать, что денотатом предложения является его истинностное значение – “истина” или “ложь”, других истинностных значений не бывает» [Фреге, 1977, с. 190]. Эта идея, представлялась в высшей степени спорной уже в то время, когда Фреге писал свои статьи.

Другой немецкий логик В. Виндельбандт высказывал следующие, как представляется, незаслуженно забытые, мысли по поводу логического анализа предложений: «Все предложения, в которых мы выражаем наши взгляды, разделяются, несмотря на видимое грамматическое их тождество, на два резко различающихся класса: на суждения и оценки. В первых высказывается связь двух содержаний сознания, в последних выражается отношение оценивающего сознания к представляемому явлению…» Виндельбандт рассматривает оценку как приписывание суждению онтологического статуса. Кроме того, он обращает внимание на относительность различия между понятием и суждением: «Всякое соединение представлений, которое должно быть совершено в суждении, может в готовом виде быть сформулировано в понятии. А ведь в таком случае связующая функция в предложении и понятии одна и та же… При этих условиях традиционное деление на понятия и суждения оказывается несостоятельным с точки зрения обычной задачи логики, именно установления нормативной системы “форм мышления”: это есть грамматическое, а не логическое деление». [Виндельбандт, 1904, с. 364]. Несмотря на то, что Виндельбандт не делал некоторых тонких различий, введенных Фреге, высказанные им мысли в соединении с аргументацией самого Фреге относительно различения денотата, смысла и имени делают в высшей степени неестественным качественное различие между денотатом имени и денотатом предложения. В конце концов, предложение – это имя объектной ситуации, которую естественно считать его денотатом, в то время как утверждение об истинности или ложности предложения есть оценка. Забегая вперед, отметим, что в математической логике наблюдается тенденция игнорировать различие между двумя указанными выше типами суждений. Подобная ситуация как и наличие всякого логически значимого, но не эксплицированного семантического различения открывает дорогу разнообразным парадоксам.

И наоборот, экспликация семиотических элементов, скрытых в естественно-языковом высказывании, делает невозможным их смещение, часто происходящее даже в естественно-языковых текстах. В частности подобная экспликация существенно проясняет проблемы, связанные с «парадоксами математической логики», которые во многом оказываются следствием слишком простой семиотической модели, лежащей в основе математической логики, модели не производящей даже полученных Фреге семиотических различений.

Можно сформулировать следующий семиотический принцип, на который, как нам кажется, должно опираться любое логическое исчисление: каждое различение смыслов знака, считающееся существенным при семиотическом анализе логической системы, должно быть эксплицировано в обозначениях[19 - Весьма вероятно, что сколько-нибудь общая формальная система такого рода мало чем отличалась бы от естественного языка.].

В противном случае при формально логической записи не только не происходит прояснения естественно-языковых высказываний, но, напротив, смысл этих высказываний чрезвычайно затемняется. Дело в том, что в текстах на естественном языке правильное понимание смысла слова, включая и ту его часть, которая определяет логику умозаключения, достигается погружением слова в соответствующий контекст, либо в текст добавляется метатекст (естественно-языковые фрагменты, управляющие способом понимания высказывания). И то, и другое в формальных текстах отсутствует. В идеале они являются контекстно-свободными (хотя в действительности это не всегда так, иногда используются неэксплицированные правила понимания формальных текстов).

Семиотический анализ логических формализмов представляется нам весьма актуальной задачей, однако полный анализ такого рода чрезвычайно громоздок даже для простых формализмов. Здесь мы приведем лишь некоторые наиболее простые и очевидные примеры.

Парадоксы сокращенных обозначений

Хорошо известен широко употребляемый в математической логике способ обозначений, согласно которому простое написание некоторой формулы (например Р (х)) есть одновременно утверждение о ее истинности. Таким образом, с самого начала в формуле не отражены необходимые, вообще говоря (см. цитиров. выше работу Виндельбандта), различения суждения и оценки. Это не значит, что указанное различения полностью игнорируется. Однако отсутствие его явной экспликации приводит к заведомой двусмысленности, так как иногда необходимо использовать формулы безотносительно к утверждениям об их истинности (не говоря уже о том, что такое употребление формулы противоречит интуиции).

В случае достаточно сложного текста следить за различением подобных двусмысленностей без наличия большой практики становится очень трудно, да и при наличии таковой возможны логические ошибки. Контекстную зависимость смысла слов естественного языка можно рассматривать, таким образом, как механизм, эффективно препятствующий возникновению подобных трудностей. Кроме того, в естественных языках существуют специальные средства для необходимых семиотических различений, имеющие грамматический (например, артикль) или прагматический характер.

Представляет интерес на нескольких примерах проанализировать с семиотической точки зрения функционирование формально-логических систем. Рассмотрим фрагмент текста работы Гильберта и Аккермана, в котором вводятся аксиомы узкого исчисления предикатов [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 97].

«К этим аксиомам мы присоединим теперь в качестве второй группы две аксиомы для “все” и “существует”»:

e) (x) F (x)?F (y);

f) F (y) ? (Ex) F (x).

Первая из этих аксиом означает «Если предикат F выполняется для всех x, то он выполняется также для любого y».

Вторая формула читается так: «Если предмет F выполняется для какого-нибудь y, то существует x, для которого выполняется F».

Этот текст особенно интересен по следующим причинам:

1. В нем вводятся аксиомы.

2. Поясняется их естественно-языковое содержание, т.е. вводится способ понимания знаковой системы.

По замыслу основателей математической логики «…чего удалось достичь благодаря языку формул в математике, то же должно быть получено с его помощью и в теоретической логике, а именно: точная научная трактовка ее предмета. Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д. находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении» [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 17].

Именно поэтому особенно интересно сопоставить знаковое и словесное выражение для аксиом формальной системы.

Рассматривая приведенный выше фрагмент логического текста нетрудно заметить следующие его особенности:

знак F (y) в формулах e) и f) трактуется по-разному и имеет два смысла. В е) – F выполняется для любого y. В f) F выполняется для какого-нибудь y.

По-видимому, различение этих смыслов связано с местом F (y) в формулах – в одном случае – на месте консеквента, в другом – на месте антицедента. Различие в смысле, однако, очень велико и никак специально не оговорено.

Совершенно неясно, что имеется в виду в этих текстах под x и y. То ли это объекты, принадлежащие области индивидуумов, то ли это имена объектов, то ли имена ролей [Дорфман, Сергеев, 1983]. Неясно, различны ли объекты, обозначенные разными именами, а также какие из них потенциальны, а какие актуальны. По-видимому, х обозначает потенциальный объект, а y – актуальный.

Уже такой поверхностный анализ показывает, что чтение указанных формул предполагает определенный способ понимания формул, о котором в тексте ничего не говорится, хотя этот текст вводит аксиомы, т.е., обязан содержать интуитивно исчерпывающее описание способа понимания формул. Аналогичные примеры в [Гильберт, Аккерман, 1947] можно с легкостью умножить.

К сожалению, подобное пренебрежение семиотическими различениями и даже сознательная эксплуатация возникающих двусмысленностей заметно не только в «Основах теоретической логики» [Гильберт, Аккерман, 1947], являющейся одной из первых работ по математической логике.

В качестве другого примера рассмотрим язык SELF, предложенный Шмульяном для формализации феномена «самоописания», присутствующий в известном логическом «парадоксе лжеца» [Манин, 1979, с. 78].

«Алфавит SELF: E, * * (симметричные кавычки).

r (отношение ранга I); ¬)(отрицание).

Синтаксис SELF. К отмеченным выражениям принадлежат: ярлыки, экспонаты, формулы и имена.

Ярлык любого выражения Р – это *Р* (Р в кавычках).

Экспонат любого выражения Р – это Р *Р* («вещь с ярлыком»).

Формулы – это выражения вида r E… E *P* и ¬ r E … E *Р*.

Здесь Е стоит на К > 0 местах после r. Сокращенная запись:

r Е

*Р* или ¬ r Е

*Р*. Наконец, введем бинарное отношение на множестве всех выражений «быть именем». Оно определяется рекурсивно:

1. Ярлык Р является именем Р.

2. Если Р – имя Q, то ЕР – имя экспоната Q, т.е. имя выражения Q *Q*».

После этих определений утверждается, что «Е*Е* является одним из двух своих имен. Точно так же формула r Е* r Е говорит о самой себе» [Манин, 1979, с. 79]. Язык SELF представляется в семиотическом плане намного более продвинутым, чем формальный язык узкого исчисления предикатов. Он эксплицирует ряд семиотических различий, позволяющих описывать весьма тонкие логические конструкции.

Семиотический анализ приведенного текста, однако, немедленно выявляет тот факт, что символ Е в этом языке употреблен в двух совершенно различных смыслах:

1. Как семиотический оператор действующий на имя, т.е. выражение *Q*, и превращающий его в Е *Q* – имя экспоната Q в соответствии с (b)).

2. Как индивидуум, являющийся «отмеченным выражением» (его можно заключать в скобках).

Ясно, что в первом смысле Е как семиотический оператор является элементом метатекста, а во втором смысле – элементом текста.