Энциклопедия финансового риск-менеджмента

на Т – t лет и занять длинную позицию по форвардному контракту на эти активы.

Тогда в момент поставки активов будет получен безрисковый доход

что противоречит нашим предположениям о рынке. Следовательно,

Стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту на активы, не приносящие доходов, определяются равенствами:

Пример 2.2. Найдем форвардную цену акции, не приносящей дивидендов, с поставкой через 3 месяца, если текущая цена акции 40 долл., а безрисковая процентная ставка на 3 месяца равна 3 %.

В данном случае

Тогда

Если на рынке форвардная цена акции оказалась равной 42 долл., то возможна следующая прибыльная арбитражная стратегия: занять 40 долл. на 3 месяца под безрисковую ставку 3 %, купить на спот-рынке акцию и занять короткую позицию по форвардному контракту. В момент поставки акции будет получен доход:

2.3.2. Форвардная цена активов, приносящих известные доходы

Такими активами могут служить купонные облигации или акции с известными заранее дивидендами.

Форвардная цена F активов с известными доходами определяется равенством:

где S – спот-цена активов в текущий момент времени t;

I – приведенное значение доходов, поступающих от активов за время от t до Т;

Т – дата поставки активов.

Стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту на активы с известными доходами можно найти следующим образом:

Пример 2.3. Найдем форвардную цену акции с поставкой через 8 месяцев, по которой дивиденды в размере 5 долл. ожидаются через 2 и 5 месяцев, если текущая цена акции равна 100 долл., а безрисковые процентные ставки на 2, 5 и 8 месяцев соответственно равны 5, 5,5 и 6 % (при непрерывном начислении процентов).

В данном случае

2.3.3. Форвардная цена активов, обладающих постоянной дивидендной доходностью

Предположим, что доходы от активов выплачиваются в виде самих этих активов, причем так, что за время ? единица активов с учетом накопленных доходов превращается в

единиц активов. В этом случае говорят, что активы обладают постоянной дивидендной доходностью

при непрерывном начислении.

Иностранную валюту можно рассматривать как актив с постоянной дивидендной доходностью. В самом деле, единицу иностранной валюты можно инвестировать под безрисковую ставку

в той стране, где действует эта валюта. Тогда через т лет единица иностранной валюты превратится в

единиц этой валюты. Таким образом, иностранная валюта обладает постоянной дивидендной доходностью, и эта дивидендная доходность совпадает с безрисковой процентной ставкой

.

Во многих случаях фондовые индексы также можно рассматривать как активы с постоянной дивидендной доходностью.

Форвардная цена F активов с постоянной дивидендной доходностью

при непрерывном начислении может быть найдена по формуле:

В этом случае для стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту имеем равенства:

Пример 2.4. Найдем 8-месячную форвардную цену английского фунта стерлингов, если текущий обменный курс равен 1,8 долл. за фунт, а безрисковые процентные ставки в США и в Англии при непрерывном начислении процентов равны 6 и 4 % соответственно.

2.4. Форвардная цена товаров

Пусть F – форвардная цена некоторого товара в момент времени t с датой поставки Т.

Покажем, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей справедливо неравенство

Так как данная стратегия не требует никаких начальных затрат и не содержит риска, то это – прибыльная арбитражная стратегия. Следовательно,

Выясним теперь, существует ли прибыльная арбитражная стратегия, если

Для получения безрискового дохода необходимо произвести короткую продажу единицы товара. Однако, если этот товар большинством инвесторов используется для потребления или в производстве, сделать это без дополнительных затрат невозможно.

Если же товар в основном используется как средство инвестирования, то возможна следующая стратегия: произвести короткую продажу единицы товара, экономя при этом затраты на хранение товара, полученные средства инвестировать под безрисковую процентную ставку

на Т – t лет и занять длинную позицию по форвардному контракту.

В момент Т будет получен доход

Таким образом, если товар используется в основном как средство инвестирования, а не потребления, то

Отметим, что к товарам, являющимся средством инвестирования, относятся, например, драгоценные металлы: золото, серебро, платина. Если же товар в основном используется как средство потребления, то

которое можно интерпретировать как меру физической полезности данного товара.

Пример 2.5. Найдем 10-месячную форвардную цену унции серебра, если текущая цена унции серебра равна 9 долл., затраты на хранение (охрану) составляют 0,24 долл. и выплачиваются поквартально вперед, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении процентов составляет 10 %.

Пример 2.6. Оценим 9-месячную меру физической полезности одного барреля сырой нефти, если текущая цена барреля нефти равна 20,00 долл., затраты на хранение барреля нефти равны 0,5 долл. и оплачиваются в конце срока хранения, 9-месячная форвардная цена барреля нефти составляет 20,20 долл., а безрисковая процентная ставка на 9 месяцев при непрерывном начислении равна 8 %.

В данном случае

Значит, для определения физической полезности барреля нефти имеем уравнение:

Таким образом, 9-месячная мера физической полезности барреля сырой нефти составляет 9,77 %.

2.5. Фьючерсные контракты

Форвардные контракты, торговля которыми производится на специальных биржах, называют фьючерсными контрактами (fииге contfacts), или просто фьючерсами futures). Естественно, что для организации торговли форвардными контактами по бирже эти контракты должны быть стандартизированы по следующим параметрам:

• объему и качеству поставляемых активов;