СПИН-финансы

= 100 000 * (1 + 0,10)

= 133 100,0 руб.

Но ведь по условиям задачи мы заработали 30 тыс. руб., а не 33,1 тыс. руб.[5 - Из этого примера видно, что использование среднеарифметической доходности для сравнения начальной и конечной стоимости инвестиций приводит к завышению конечной стоимости.]

Чтобы посчитать годовую доходность, если известен результат через Х лет, надо в формуле расчета доходности использовать годовую доходность не в процентном формате, а изменение в разах.

• Д(0) – исходное количество денег;

• Д(Х) – количество денег через Х лет;

• Р – ежегодное изменение в разах.

Через 1 год: Д(1) = Д(0)*Р;

Через 2 года: Д(2) = Д(1)*Р = Д(0)*Р

;

Через 3 года: Д(3) = Д(2)*Р = Д(0)*Р

;

…

В общем виде, формула расчета среднегодовой доходности (в разах) принимает следующий вид:

Д(Х) = Д(0)*РХ

В нашем примере, через 3 года (Х), 100 тыс. руб. – Д(0), стали 125 тыс. руб. Д(3). Надо найти во сколько раз изменилась инвестиция, то есть найти чему равно «Р»?

(что эквивалентно росту на 7,72 % в год).

Проверяем по формуле расчета среднегодовой доходности:

100 000 * (1+7,72 %)

= 100 000 * (1+0,0772)

= 100 000 * 1,0772

= 124 994 руб.

То, что ответ получился не ровно 125 тыс. руб. не должен вас пугать. Так получается из-за используемой точности вычисления. В нашем примере при расчете годового процента было использовано округление до двух значащих цифр после запятой. Если бы мы использовали при расчете не 2, а 6 знаков после запятой, то есть 7,721734 % (вместо 7,72 %), то ответ был бы равен 124 999,998 руб., что дает требуемый результат. Чем больше значащих цифр, чем точнее ответ. На практике не требуется такая точность вычислений, поэтому использование десятых или сотых долей дает приемлемую точность вычислений.

Итак, чтобы посчитать годовую доходность в процентах, нужно конечную стоимость разделить на начальную, затем вычесть корень той степени, равный количеству периодов начисления процентов и после этого вычесть единицу. Затем полученное число не забыть перевести в процентный формат, то есть умножить на 100 и поставить знак «%».

Если не вычитать единицу, получиться изменение в разах:

Проблема с использованием среднеарифметической доходности заключается в том, что она не учитывает наращивание доходности в течении определенного периода. Например, у нас есть три значения годовой доходности:

Таблица 13. Пример годовой доходности за 2014–2016 годов

Среднеарифметическая доходность составит:

Среднегеометрическая доходность составит:

При этом среднегеометрическая доходность будет в точности ровна годовой доходности, для определения которой используются только начальная и конечная величина баланса:

Стоит особо отметить, что среднеарифметическая доходность всегда больше среднегеометрической доходности. Они равны друг другу только в случае равенства доходностей за каждый период, то есть каждый год одна и та же доходность.

Например, банковский депозит на три года с 10 %-ой ставкой, тогда:

Среднеарифметическая доходность составит:

Среднегеометрическая доходность составит:

Как видно, проблема заключается в том, что при среднеарифметическом способе вычисления доходности не учитывается факт реинвестирования прибыли за предыдущий период. В нашем примере 10 % дохода за 2015 год были заработаны путем реинвестирования 20 % дохода за 2014 год, но это не было учтено в формуле расчета среднеарифметического.

Иначе говоря, среднеарифметическую доходность можно использовать только тогда, когда по окончанию периода прибыль выводится со счета (восполняется убыток) и новый период начинается точно с той же суммы, что и начальный период. Если же производится полное реинвестирование суммы прибыли (или если убыток не восполняется), то для расчета годовой доходности следует использовать формулу среднегеометрической доходности, которая позволяет учитывать сложные проценты.

Если в случае банковского депозита (когда проценты по вкладу оговорены и неизменны на все время действия договора), использование среднеарифметической формула не критично. Тогда как при инвестициях в активы с изменчивой доходностью, это имеет огромное значение.

Например, ваши активы в размере 100 тыс. руб. за 2015 год выросли на +100 %, а за 2016 год упали на -50 %. Сколько у вас теперь денег? Первое желание сказать – 125 тыс. руб., ведь среднеарифметическое есть 25 %:

Но на самом деле это не так. Для наглядности, давайте запишем все известные факты и посчитаем все изменения с инвестицией.

Таблица 14. Пример изменения инвестиции в размере 100 тыс. руб.

Среднегеометрическая доходность, как это и должно быть, будет равна нулю (ведь если начальная и конечная суммы равны, то о какой доходности может идти речь?):

Если цена акции вчера выросла на 10 %, а сегодня упала на 10 % – то, многие начинающие, или с опытом, инвесторы скажут про цену, что она «на месте», «не изменилась». Ведь арифметическое среднее это так просто! Плюс 10, минус 10 – сложить и разделить пополам, что в итоге дает ноль.

Но это не так. В действительности цена снизилась.

Таблица 15. Арифметическое так просто, но не верно!

В таблице ниже показано, на сколько процентов должен увеличится текущий капитал (или цена акции), чтобы достичь первоначального уровня капитала (цены) при заданном проценте падения первоначального капитала (цены).

Таблица 16. Требуемый рост в процентах до первоначального капитала при заданном падении.

Если вы купил какой-то актив, и его цена через год снизилась на 30 %, то чтобы вам требуется 42,9 % доходности, только лишь для того, чтобы у вас снова был первоначальный капитал. Если же падение составило 50 %, то вам потребуется уже 100 %-ый рост.

Следует отметить, что ни среднеарифметический, ни среднегеометрический способ расчета средней доходности за год не является наиболее «точным» или «правильным». Каждый из способов имеет свою сферу применения. Среднеарифметический способ следует использовать при расчете средней доходности за определенный период. Среднегеометрический способ расчета используется для нахождения доходности за несколько смежных временных периодов.

На заметку. Если у вас вызывает затруднение посчитать, сколько процентов составляет одна величина относительно другой, воспользуйтесь следующей техникой.

Чтобы определить какую долю составляет прибыль (25 тыс. руб.) от суммы первоначального взноса (100 тыс. руб.), нарисуйте на бумаге или мысленно представьте квадрат, разбитый на четыре сектора. В левом верхнем углу пишете сумму первоначального взноса (100 тыс. руб.). 100 тыс. первоначальных рублей это есть 100 % вашего баланса – поэтому в ячейке напротив записываете «100 %».