вектором равновесия для данной модели.
На самом деле, существует еще один вектор, который ведёт себя хорошо почти так же, как
для этой конкретной модели. А именно, если
, то
. Проверить это тоже можно непосредственными вычислениями. Хотя
и не является равновесием, он демонстрирует довольно простое поведение при умножении на матрицу
– эффект от умножения
на
точно такой же, как при умножение его на скаляр
.
Определение. Если
– квадратная матрица порядка
, и
– ненулевой вектор арифметического пространства
, а
– скаляр такой, что
, то
называется собственным вектором матрицы
, а
называется собственным значением.
Почему требуется, чтобы собственные векторы не были нулевым вектором? Да просто потому, что
для любых действительных чисел
. А когда собственный вектор
, с ним может быть связано только одно собственное значение
.
Используя эту терминологию, приведенная выше матрица
имеет собственный вектор
с собственным значением
и собственный вектор
с собственным значением
.
Заметим, однако, что, как и
, векторы
,
и
тоже являются собственными векторами
с собственным значением
. Однако, поскольку названные векторы являются скалярно кратными друг другу, это может показаться не удивительным. Что объясняет следующая теорема.
Теорема. Если
является собственным вектором матрицы
с собственным значением
, то для любого скаляра
вектор
тоже является собственным вектором матрицы
с тем же собственным значением
.
Доказательство. Если
, то
.
Практическим следствием этого является тот факт, что, хоть и можно говорить о паре