Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

где ?=1,2… n.

Отсюда следует, что для любого числа n пара чисел a и b будут иметь одинаковую четность, т.е. одновременно являются либо четными, либо нечетными, так как арифметические операции «+» и «–» являются однотипными.

5. Обобщающие выводы и четыре теоремы

Предыдущие разделы работы подвели к общим выводам представления четных чисел суммой двух других.

Исходя из вышеописанного можно сделать предположение, что любое четное число больше двух представимо одновременно в виде суммы двух чисел в следующих сочетаниях:

1) суммой симметричных пар четных чисел;

2) суммой симметричных пар нечетных чисел;

3) суммой симметричных пар нечетных составных чисел;

3) суммой симметричных пар простых чисел.

Доказательства сделанных утверждений подготовлены в предыдущих разделах, а некоторые фактически уже доказаны.

Однако приведем доказательства по каждому из данных утверждений в виде теорем.

Теорема 2. Любое четное число натурального ряда представимо суммой симметричных пар четных чисел.

Доказательство. Из определения самого натурального числа, леммы 1 и теоремы 1, следует, что любое натуральное число k большее 1 имеет k симметричных пар чисел a

и b

, таких, что их среднеарифметическое равно самому числу.

Действительно, если рассмотрим число k, а также его симметричные пары a

и b

, то их среднеарифметическое будет

(a

+b

)/2 = k. (5.1)

Но согласно (1.3) симметричные пары чисел можно записывать следующими выражениями a

= k – i, b

= k + i, то такие пары чисел при i = ? = 1, 2, 3, …… n.

Следовательно, их сумма будет удовлетворять выражению (5.1) и при этом будут симметричными.

Но так n = 2k , то отсюда следует, что любое четное число n представимо k парами симметричных чисел, таких что

a

+b

= 2k . (5.2)

Из выражения (5.2) также следует, что, так как в правой части стоит четное число, то сумма в левой части должна быть четной. В силу этого числа a

и b

должны быть одновременно либо четными, либо нечетными. Из свойств чисел натурального ряда следует, в силу утверждения 3, что симметричные числа a

и b

являются либо только четными, либо только нечетными.

Очевидно, что при k>1, из k симметричных пар, найдется хотя бы одна пара, в которой a

и b

являются только четными.

Из этого вытекает, что в множествах A и B да найдется хотя бы одна пара четных чисел, таких, что выполниться равенство (5.2), а это и доказывает теорему.

Теорема 3. Любое четное число натурального ряда больше 1 представимо суммой симметричных пар нечетных чисел.

Доказательство. Запишем четное число в виде n = 2k. Тогда из доказательства предыдущей теоремы 2 вытекает, что любое четное число представимо симметричной парой a

+b

= 2k. Очевидно, в силу утверждения 3, при k>1 найдется симметричная пара, в которой a

и b

являются только нечетными.

Из этого вытекает, что во множествах A и B да найдется хотя бы одна пара нечетных симметричных чисел, таких, что выполниться равенство (5.2), а это и доказывает теорему

Из свойств ряда натуральных чисел доказательства предыдущей теоремы 2 вытекает, что любое четное число представимо симметричной парой нечетных чисел.

Теорема 4. Любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар простых чисел.

Доказательство. Рассмотрим множество нечетных чисел nch

меньших n, и множество нечетных чисел nch

больших n и меньших 2n, т.е. |nch