nch
= S
U P
и nch
= S
U P
.
Далее, согласно (3.2) мощности указанных множеств равны, т.е. |nch
| = |nch
|. При этом, в соответствии с (3.3) равны и суммы мощностей подмножеств симметричных нечетных составных и простых чисел обеих множеств, т.е. | nch
| = |S
| + |P
| и |nch
| = |S
| + |P
|.
Заметим, как показано выше, что имеется однозначная функциональная зависимость между элементами указанных двух множеств, а именно каждому элементу из множества nch
найдется единственный элемент в множестве nch
, или в символьной записи nch
?nch
.
Рассмотрим теперь два подмножества симметричных нечетных составных чисел S
и S
.
Допустим, что утверждение теоремы неверно, т.е. не существует двух симметричных нечетных составных чисел из S
и S
, или иначе говоря, подмножество функциональной зависимости пусто или S
? S
= ?.
Тогда, если во множествах S
и S
не нашлось ни одной симметричной пары нечетных составных чисел, то, следовательно, с учетом (5.3) мощность множества S
должна быть равна мощности множества P
, т.е. |S
| = |P
|. Аналогично рассуждая для множества должно выполняться и следующее равенство |S
| = |P
|. В этом случае применяя рассуждения теоремы 2 можно прийти к противоречию, т.е. к тому, что |P
|> |S
|, а это противоречит начальному условию (5.3). Теорема доказана.
6. Сильная гипотеза Гольдбаха и теорема Гольдбаха-Эйлера
Доказанные в предыдущем разделе теоремы вплотную подводят нас к сильной или бинарной гипотезе Гольдбаха [1], которую также сформулировал Эйлер [4] и которая гласит: любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел. Как показано выше, приведенные исследования в общем виде бинарная гипотеза Гольдбаха не совсем верна, так как сумма двух любых простых чисел будет соотноситься только к числу, которое получается делением четного числа на 2.
Запишем данное утверждение не в виде гипотезы, а в виде теоремы.
Исходя из сказанного, сформулируем сильную или бинарную теорему Гольдбаха-Эйлера в следующем виде:
Теорема 6 (сильная или бинарная). Любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел и только таких, которые являются симметричной парой простых чисел соответствующей числу вдвое меньшему самого четного числа.
Доказательство этой теоремы найдем в доказательстве теоремы 5.
Следует заметить, что иных разложений четного числа в виде суммы простых чисел не существует. Это следует из материалов раздела 5.1 и 5.2.
7. Проблема представления любого числа в виде суммы нескольких простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха)
С использованием симметричных простых чисел, может быть и решена тернарная проблема Гольдбаха, сформулированная им в 1742 году. Его предположение, что всякое нечетное число, большее 5 можно представить в виде суммы трех простых, решается следующим способом.
7.1. Представление нечетных чисел в виде суммы трех простых чисел.