Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

nch

= S

U P

и nch

= S

U P

.

Далее, согласно (3.2) мощности указанных множеств равны, т.е. |nch

| = |nch

|. При этом, в соответствии с (3.3) равны и суммы мощностей подмножеств симметричных нечетных составных и простых чисел обеих множеств, т.е. | nch

| = |S

| + |P

| и |nch

| = |S

| + |P

|.

Заметим, как показано выше, что имеется однозначная функциональная зависимость между элементами указанных двух множеств, а именно каждому элементу из множества nch

найдется единственный элемент в множестве nch

, или в символьной записи nch

?nch

.

Рассмотрим теперь два подмножества симметричных нечетных составных чисел S

и S

.

Допустим, что утверждение теоремы неверно, т.е. не существует двух симметричных нечетных составных чисел из S

и S

, или иначе говоря, подмножество функциональной зависимости пусто или S

? S

= ?.

Тогда, если во множествах S

и S

не нашлось ни одной симметричной пары нечетных составных чисел, то, следовательно, с учетом (5.3) мощность множества S

должна быть равна мощности множества P

, т.е. |S

| = |P

|. Аналогично рассуждая для множества должно выполняться и следующее равенство |S

| = |P

|. В этом случае применяя рассуждения теоремы 2 можно прийти к противоречию, т.е. к тому, что |P

|> |S

|, а это противоречит начальному условию (5.3). Теорема доказана.

6. Сильная гипотеза Гольдбаха и теорема Гольдбаха-Эйлера

Доказанные в предыдущем разделе теоремы вплотную подводят нас к сильной или бинарной гипотезе Гольдбаха [1], которую также сформулировал Эйлер [4] и которая гласит: любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел. Как показано выше, приведенные исследования в общем виде бинарная гипотеза Гольдбаха не совсем верна, так как сумма двух любых простых чисел будет соотноситься только к числу, которое получается делением четного числа на 2.

Запишем данное утверждение не в виде гипотезы, а в виде теоремы.

Исходя из сказанного, сформулируем сильную или бинарную теорему Гольдбаха-Эйлера в следующем виде:

Теорема 6 (сильная или бинарная). Любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел и только таких, которые являются симметричной парой простых чисел соответствующей числу вдвое меньшему самого четного числа.

Доказательство этой теоремы найдем в доказательстве теоремы 5.

Следует заметить, что иных разложений четного числа в виде суммы простых чисел не существует. Это следует из материалов раздела 5.1 и 5.2.

7. Проблема представления любого числа в виде суммы нескольких простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха)

С использованием симметричных простых чисел, может быть и решена тернарная проблема Гольдбаха, сформулированная им в 1742 году. Его предположение, что всякое нечетное число, большее 5 можно представить в виде суммы трех простых, решается следующим способом.

7.1. Представление нечетных чисел в виде суммы трех простых чисел.