Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 5: Методы изучения взаимозависимостей в обществоведении

<< 1. Таким образом, условная вероятность найти себя в короткоживущей расе неожиданно оказывается порядка единицы! Это и есть знаменитый Аргумент Doomsday.

A. Аргумент Doomsday содержит внутреннее противоречие. Представим себе, что несколько десятков тысяч лет назад численность народонаселения составляла в общей сумме (вместе с умершими) 1000 человек. Предположим, что эти люди – фаталисты, уверенные, что грядет конец света, и оценивают общее число всех людей своей расы, вплоть до этого конца в 10

. Как мы знаем, сейчас число всех когда-либо живших людей составляет около 60 млрд человек[5 - В пятом разделе мы поясним, откуда берется это число.]. Примем, что p

= p

= 0,5. Тогда формула (1) дает

Другими словами, фактически со 100%-ной гарантией эти люди должны были оказаться правы в своих апокалиптических ожиданиях. Вероятность же текущего положения дел (на начало XXI в.) составила бы лишь 0,000017. Тем не менее, как мы знаем, именно это практически невероятное состояние человечества имеет место. Таким образом, древние люди совершили бы огромную ошибку, полагаясь на формулу (1). Но тогда почему мы должны доверять этой формуле?

B. Аргумент Doomsday дает заведомо неправильный ответ. Здравый смысл подсказывает, что вероятность p (S|N) должна быть равна просто p

. Очевидно, где?то имеется ошибка в вычислениях.

Кен Олум утверждает, что знает где. Вот его рассуждения: для нахождения условной вероятности p (S|N) мы перемножили два числа (опуская нормировочный множитель):

p (S|N) ? p

p (N|S), (3)

тогда как правильное выражение имеет вид

p (S|N) ? p

p (N|S)N

. (4)

Вводя в (4) нормировочный множитель, имеем

Ответ получается разумным, но почему нам следует использовать предписание (4), а не (3)? Согласно Олуму, для правильного вычисления p (S|N) необходимо перемножить три вероятности: вероятность того, что мы находимся в короткоживущей цивилизации (p S), условную вероятность того, что я N-й человек (p (N|S)), и p (N

|I) – условную вероятность того, что я нахожусь в короткоживущей цивилизации, при условии, что «я есть». Последнее выглядит странно и нуждается в пояснении. Суть дела в том, что сам факт моего существования служит аргументом в пользу того, что я нахожусь в долгоживущей цивилизации, насчитывающей большое число людей. Другими словами, вероятность p (N

|I) должна быть пропорциональна полному числу людей – N

. Для того чтобы сделать этот вопрос максимально ясным, рассмотрим (вслед за Кен Олумом) следующую гипотетическую игровую ситуацию. Пусть некое высшее существо (Олум называет ее богиней) имеет в запасе отель, содержащий 10

одноместных номеров и такое же число людей (одним из которых являюсь я). Богиня бросает монету и в зависимости от того, что выпадает – «орел» или «решка», реализует следующую стратегию.

Стратегия 1.

1.1. Если выпадает «орел», то богиня случайным образом расселяет всех 10

человек по номерам.

1.2. Если выпадает «решка», то богиня случайным образом выбирает 10 человек и наугад расселяет их по первым 10 номерам.

Предположим, что я обнаружил, что нахожусь в одном из первых 10 номеров. С какой вероятностью у богини выпал «орел»? Или иначе, какова вероятность того, что отель полон людей? Эти вопросы имеют прямое отношение к Аргументу Doomsday. В самом деле, результат, полученный по формуле (1), можно объяснить и так: если человечество будет существовать очень долго и полное число всех людей (N

) будет очень велико, то кажется весьма маловероятным найти себя в малой доле людей, живущих у истока цивилизации. Однако мы находим себя в нем, значит, полное число всех когда-либо живших людей, людей, живущих сейчас, и тех, кто будет жить после, не должно быть очень велико. Формула (1) просто дает количественное основание этой идеи. Аналогично в мысленном эксперименте Кен Олума кажется весьма маловероятным, что отель полон, коль скоро мы нашли себя уже в первой десятке номеров. Однако это интуитивно очевидное заключение оказывается неверным. Назовем группу людей, которых богиня будет расселять по номерам реферируемой группой. Теперь предположим, что монета упала «орлом». В этом случае с вероятностью единицы я окажусь в реферируемой группе. Вероятность же того, что богиня поместит меня в один из первых десяти номеров, составит 10

. Перемножая эти независимые вероятности, я получаю вероятность попасть в первые десять номеров при выпадении «орла», равной 10

. Если же монета упадет «решкой», то мои шансы попасть в реферируемую группу составят десять к миллиарду, зато вероятность того, что я окажусь в первой десятке номеров, равна, очевидно, 1. Перемножая эти числа, получаем ту же вероятность 10

, что и при выпадении монеты «орлом». Заметим, что вероятность моего попадания в реферируемую группу и есть величина p (N

|I) (или p (N

|I)). Отношение этих вероятностей в первом и втором случаях составляет один к 10

, т.е. равно отношению числа членов в реферируемых группах: 10

к 10. Именно поэтому p (N

|I) ? N

, а p (N

|I) ? N

. Таким образом, вероятность моего попадания в номер, скажем, 7 не зависит от числа людей в отеле и составляет, очевидно, 10

. В свою очередь это означает, что вероятности выпадения монеты «орлом» или «решкой» равны, а значит, вероятность того, что отель полон, равна 1/2, т.е., возвращаясь к Аргументу Doomsday, p (S|N) = p

. Таким образом, парадокс Судного дня кажется решенным. Но не все так просто!

3. Мультиверс и Doomsday

Свою известную работу [Tegmark, 2003] Макс Тегмарк начинает вопросом, обращенным к читателю: существуют ли другие копии Вас, читающие эти же строки, но принявшие решение оставить чтение, не дойдя до конца данного предложения, тогда как Вы все-таки дочитали его? Люди, живущие на планете, называемой Землей, с горами, среди которых есть Гималаи, с растущими городами (среди которых есть Лондон и Москва)? Люди, живущие в Солнечной системе, содержащей еще восемь планет? Жизнь этих людей совпадает с Вашей во всех отношениях, до того мгновения[6 - Внимание! Это место центрально для понимания данной статьи.], когда Вы приняли решение дочитать первое предложение до конца, решение, свидетельствующее, что Ваша жизнь и жизни этих «копий» стали различаться? Хотя эта картина выглядит странной и невозможной, тем не менее именно ее предсказывает простейшая и наиболее популярная сегодня космологическая модель, причем, согласно этой модели, вышеупомянутые персоны живут в галактике, находящейся приблизительно на расстоянии 10 в степени 10

метров от нас. Собственно, для обоснования того, что дело обстоит именно так, достаточно принять два обстоятельства: (1) вселенная пространственно бесконечна и (2) она однородно заполнена веществом. Существование вашего alter ego является простым следствием (или предсказанием) так называемой модели конкорданс (concordance), которая находится в согласии со всеми известными астрономическими наблюдениями, расчетами и компьютерными симуляциями. Наибольшее расстояние, которое в принципе можно наблюдать, составляет примерно 14–15 млрд световых лет, поскольку столько лет назад произошел Большой взрыв, послуживший началом нашей вселенной. В сантиметрах это примерно 10

, и сфера с таким радиусом, в центре которой находимся мы, определяет так называемую видимую вселенную, иначе называемую хаббловским объемом. Аналогично вселенная одного из Ваших вышеупомянутых двойников имеет такой же размер, с центром в другой точке и не имеет никакого физического контакта с нашей вселенной. Наша наблюдаемая вселенная оказывается лишь малой частью колоссальной структуры, называемой мультиверсом. Представление о мультиверсе может показаться метафизическим, однако становится все более и более ясным, что существование мультиверса, вытекающее из базовых, по-видимому, неопровержимых физических принципов, может быть эмпирически протестировано или фальсифицировано по Попперу[7 - В настоящее время вопрос ставится даже не о том, существует мультиверс или нет, а, скорее, о том, сколько уровней он допускает.].

Вернемся к нашим удаленным двойникам. Если пространство бесконечно и распределение материи достаточно однородно на больших масштабах, то даже самые маловероятные события должны где?то происходить. Недавно Дон Пэйдж показал даже, что если полный четырехмерный объем вселенной превышаетe в степени 10

см в четвертой степени, то начинают доминировать события с вероятностью, равной спонтанному возникновению наблюдателя-человека [Page, 2005]! На этом фоне уже не удивляет то, что в бесконечной вселенной есть бесконечно много других населенных планет, включая планеты, населенные людьми, обладающими той же внешностью, именем и памятью, что и Вы. Это проистекает из того, что существует множество других областей, того же размера, что и наш хаббловский объем, в которых реализуются все возможные сценарии развития событий! Еще раз подчеркнем, что это является неизбежным следствием простейшей и наиболее общепризнанной современной космологической модели. Действительно, пока все известные наблюдения достаточно уверенно свидетельствуют о том, что мы живем в плоской вселенной, которая, как это следует из уравнений Эйнштейна, ДОЛЖНА быть бесконечной. Колоссальный успех инфляционной космологии служит веским основанием верить, что вселенная и в самом деле бесконечна и плоска, чему, кстати, нас и учили в школе!

Что касается однородности, то наблюдения показывают, что отклонения от средней величины массы, заключенной в сфере радиуса 10

м, составляет менее 1%, а в сфере радиуса 10

м отклонение не превышает 0,001%! Таким образом, современные наблюдения однозначно утверждают, что вселенная продолжается и за пределы нашего хаббловского объема, причем там она по-прежнему заполнена галактиками, звездами и планетами.

Есть несколько способов того, как получить отсюда вышеупомянутую «сюрреалистическую» картину вселенной, заполненной нашими двойниками. Первый способ основан на гипотезе эргодичности. Как известно, физическая задача определяется уравнениями динамики и начальными условиями. Согласно современным представлениями начальные условия в ранней вселенной, приведшие к наблюдаемой структуре космоса, были фиксированы квантовыми флуктуациями во время инфляции. Эти флуктуации порождают флуктуации в плотности, которые оказываются эргодически случайными полями. Эргодичность означает, что если вообразить ансамбль вселенных (точнее, хаббловских объемов) со случайно распределенными начальными условиями, то вероятностное распределение исходов в данном объеме совпадает с распределением, полученным случайным выбором объема из всех возможных. Другими словами, при наличии эргодичности все, что может в принципе произойти, на самом деле где?то происходит.