Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 5: Методы изучения взаимозависимостей в обществоведении

Более изящен второй способ, предложенный Виленкиным [Garriga, Vilenkin, 2005] и использующий так называемое ограничение Бекенштейна. Суть его сводится к следующему: количество квантовых состояний внутри некоторого объема не может превышать площадь этого объема, умноженную на некоторую постоянную. Строгий вывод ограничения Бекенштейна дается в рамках квантовой теории поля. Однако можно легко (но нестрого!) пояснить, откуда берется это ограничение [Tipler, 2001].

Рассмотрим квантовую, одномерную (для простоты) систему. Неразличимые квантовые состояния лежат в ячейках, меньших, чем произведение неопределенности координаты на неопределенность импульса, поэтому общее число различных квантовых состояний получается делением всего фазового объема на размер такой ячейки. Так как, в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, размер последней не может быть меньше постоянной Планка, размер полного числа квантовых состояний N не может быть больше фазового объема PR (где P – импульс, а R – координата), деленного на постоянную Планка. На следующем шаге надо вспомнить, что в релятивистской теории импульс P всегда меньше (либо равен – для безмассовых полей) энергии E, деленной на скорость света. Но энергия пропорциональна массе, а значит, число возможных состояний не больше некоторой константы, умноженной на размер исследуемого объема R и на его массу. Наконец, следует учесть, что масса объема при заданном R не может быть сколь угодно велика, ее максимально допустимое значение пропорционально R, поскольку при бoльших массах начнется гравитационный коллапс. Окончательно получаем, что число допустимых, физически различимых квантовых состояний меньше, чем

Ограничение Бекенштейна позволяет понять, откуда берутся «двойники». В силу этого ограничения число начальных условий N

, приводящих к разным динамическим конфигурациям в заданном хаббловском объеме, – конечно. В [Garriga, Vilenkin, 2001] приведена оценка: N

? e в степени 10

! Это, безусловно, колоссальное, но КОНЕЧНОЕ число. Таким образом, число всех возможных «историй» внутри данного хаббловского объема – конечно, тогда как число всех хаббловских объемом в бесконечной (ибо плоской) вселенной – бесконечно. Это означает, что если начать перебирать хаббловские объемы один за другим, то рано или поздно мы переберем все объемы с разными историями, после чего начнутся повторения. Другими словами, все возможные истории, все, что могло произойти в нашем мире, но почему?то не произошло, – где?то происходит. Кроме того, существует бесконечно много одинаковых миров, буквально совпадающих с нашим, а также миров, лишь чуть-чуть отличающихся от нашего, и т.д. Грубые оценки показывают, что ближайшие к вам ваши же двойники находятся на расстоянии примерно 10 в степени 10

м от вас. На расстоянии 10 в степени 10

м располагается сфера радиусом 100 световых лет, такая, что для всех ее обитателей в течение 100 ближайших лет все произойдет в точности как у нас вплоть до 2100 г. Наконец, на расстоянии 10 в степени 10

м должен располагаться ближайший хаббловский объем, полностью идентичный нашему.

Как мы видим, все эти объемы лежат за пределами нашего горизонта событий, поэтому, согласно СТО, невозможна причинная связь с нашими «двойниками». Тем не менее наличие мультиверса тестируемо [Stoeger, 2007; Weinberg, 2005; Aguirre, 2005]. Примером такого теста является проблема космологической константы, решенная в [Vilenkin, 2001]. Как мы сейчас покажем, существует другая, поразительная возможность проверить гипотезу мультиверса, используя Аргумент Doomsday! Одним из интересных следствий описанной картины является то, что если наличествует множество «вас» с одинаковой памятью и прошлой жизнью, но с разным будущим, то вы в принципе не способны вычислить ваше будущее даже при условии, что вся полная история космоса вам известна! Происходит это потому, что нет никакого способа определить, какая из этих «копий» действительно «вы». Лучшее, что можно сделать, – это вычислить вероятность того или иного события, используя базовое предположение о том, что вы – типичный наблюдатель. Такая методика широко практикуется в современной космологии и лежит в основе вычислений с использованием так называемого антропного принципа[8 - Именно используя этот принцип, удалось решить упомянутую проблему космологической постоянной в [8].]. Рассмотрим теперь наблюдателя, скажем меня, который остановился между двумя дверями 1 и 2 и принимает решение, в какую из них зайти. Если я выберу дверь 1, то можно не сомневаться, что за пределами расстояния 10 в степени 10

м (но не дальше чем 10 в степени 10

м) находится хаббловский объем, содержащий моего двойника, выбравшего дверь 2. Получается забавная картина: выбор той или иной двери эквивалентен «выбору» того или иного хаббловского объема. Разумеется, на самом деле я нахожусь лишь в одном объеме, но поскольку не знаю в каком, то две картины: (1) я живу в одном хаббловском объеме и (2) я умею «переходить» (правда, спонтанно и неуправляемо) из одного объема в другой – эквивалентны. На самом деле это простое следствие того, что различия между хаббловскими объемами порождены различиями в начальных условиях, в частности флуктуациями в ранней вселенной, которые, как уже говорилось, обладают свойством эргодичности. Повторим, что вследствие эргодичности вероятностное распределение исходов в данном хаббловском объеме совпадает с распределением, полученным случайным выбором объема из всех возможных. Применительно ко мне это означает, что я могу, если хочется, считать себя «случайно блуждающим странником по хаббловским объемам». Вспомним пример Тегмарка, с которого мы начали этот раздел: некоторые из вас бросили сейчас читать эту работы, придя к заключению, что все это просто чепуха, не заслуживающая внимания. Однако должны существовать хаббловские объемы, в которых Вы не поддались этому порыву и решили дочитать до конца (автор надеется, что находится в одном из таких хаббловских объемов). Теперь рассмотрим ситуацию за долю секунды до того, как решение было принято. После принятия решения Ваша жизнь и жизнь двойника стали различаться. Вы могли принять решение не читать, но могли принять решение и дочитать. Приняв то или иное решение, Вы определили, в каком именно хаббловском объеме находитесь. Но не будет логической ошибки сказать, что, приняв то или иное решение, Вы «перешли» в тот или иной объем! Например, Вы не стали читать и, разумеется, остались в том объеме, где и были. Но Ваш более отзывчивый двойник теперь находится на расстоянии 10 в степени 10

м от Вас. Можно, конечно, сказать, что он всегда там был, но, с другой стороны, до того, как решение было принято, Вы оба были одним и тем же лицом! Не существовало способа отличить Вас друг от друга, значит, Вы были не просто двойниками! Вы были ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ЧЕЛОВЕКОМ. А раз так, то ситуация выбора может быть непротиворечиво описана следующим образом: сделав выбор, я нахожу себя в другом хаббловском объеме, не в том, в котором находился ДО выбора. Все физические процессы, которые я наблюдаю вокруг, будут выглядеть одинаково вне зависимости от того, странствую ли я при каждом выборе по хаббловским объемам или нахожусь в одном из них. Вероятно, это утверждение покажется тривиальным одним и неверным другим. Для этих вторых мы приведем дополнительные аргументы в пользу того, что мы можем считаться «случайно блуждающими странникамим по хаббловским объемам», несмотря на то что находимся лишь в одном из них, в следующем разделе.

Но, скажет критик, даже если это верно, то поскольку два способа описания моей эволюции в мультиверсе (т.е. я странствую или все время нахожусь в одном объеме) физически неразличимы, то в чем разница? Разница в том, что теперь Аргумент Doomsday оказывается верным!

Для того чтобы понять это, рассмотрим второй сценарий игры, тоже описанный Кен Олумом.

Стратегия 2.

2.1. Если выпадает «орел», то богиня случайным образом расселяет всех 10

человек (и меня, разумеется) по номерам.

2.2. Если выпадает «решка», то богиня обязательно выбирает меня и еще девять человек (а их – случайным образом) и наугад расселяет их по первым 10 номерам.

Отличие стратегии 2 от стратегии 1 в том, что я со 100%-ной гарантией являюсь членом реферируемой группы вне зависимости от того, как упадет монета. Первую стратегию Олум назвал симметричной, а вторую – асимметричной (я оказываюсь выделенным). Проанализируем асимметричную игру на тех же условиях: я обнаруживаю себя в номере 7. Пусть монета упала «орлом». Так как я знаю, что я непременно член реферируемой группы, то вероятность моего попадание в первую десятку номеров составит 10

. Если же монета упала «решкой», то я с вероятностью 1 попадаю в первую десятку. Другими словами, вероятность моего попадания в седьмой номер в случае полного отеля составляет один к миллиарду, а в случае «почти пустого» – один к десяти. Обнаружив себя в седьмом номере, я могу быть уверен, что в отеле вместе со мной проживают только 10 человек. Другими словами, в этом случае работает предписание (3), а не (4), а значит, формула (1) оказывается верной. Причина этого очевидна – если я в любом случае попадаю в реферируемую группу, то условные вероятности p (N|I) равны единице.

Осталось понять, что наша жизнь в мультиверсе сходна со стратегией 2, а не стратегией 1. Это почти очевидно: во?первых, мы должны исключить из рассмотрения хаббловские объемы где нас нет, по той причине, что я непременно существую в других объемах и осознаю себя в них прямо сейчас. Во?вторых, коль скоро при каждом выборе я могу считать себя попадающим в соответствующий хаббловский объем, то ситуация ничем не отличается от ситуации, где мое местонахождение определяется монетой богини. В обоих случаях ситуация случайна и находится вне моего контроля. Я не знаю, в каком хаббловском объеме окажусь в следующий момент (или, если угодно, не знаю, что произойдет в моем объеме в следующий момент), но точно знаю, что в одном из них окажусь обязательно. В этом смысле я могу считать себя выделенным. А это означает, что в мультиверсе Аргумент Doomsday – действует!

В силу необычности и важности этого заключения повторим его еще раз, но применительно к Аргументу Судного дня. Я знаю, что я N-й человек. Также я знаю, что это сейчас осознает множество моих двойников, обладающих той же памятью и видящих то же, что и я. Я не знаю, который из этих двойников «я». Часть из них живет в долгоживущей цивилизации, находясь у самого ее истока. Вторая часть живет в короткоживущей цивилизации и не занимает особого положения. Я могу оказаться любым из них, ибо они реально существуют. На что мне надо поставить: на то, что я оказался одним из избранных, стоящих у самого начала будущей «космической империи», или на то, что я живу в заурядной цивилизации, число людей в которой никогда не увеличится на порядки? Очевидно, что при таком раскладе несравненно более вероятен второй вариант.

Нам осталось ответить на приводимое выше первое возражение против Аргумента Doomsday, утверждающего его противоречивый характер: почему древние люди пришли бы к абсолютно неправильному заключению о будущем (2)? Напомним: древние люди, о которых речь шла во втором разделе, с вероятностью 0,999 983 должны были столкнуться с Судным днем до начала XXI в. Тем не менее они дожили до наших дней, породив нас, хотя вероятность этого была лишь 0,000 017. Как же так? Очень просто: в Мультиверсе существовало множество копий этих людей, сделавших это предсказание. Из них 99,9983% действительно имели несчастье исчезнуть в результате Судного дня и лишь 0,0017% уцелели. И это естественно, ибо Аргумент Doomsday носит статистический характер. Кому-то ДОЛЖНО было повезти, поскольку в Мультиверсе происходит все, что возможно (см. сноску 5). И поскольку я являюсь потомком этих людей, для меня вероятность существования этой крохотной доли счастливчиков, выигравших в лотерею жизни и смерти, равна 100%. Ситуация здесь та же самая, что и с «удачливым сперматозоидом»: допустим, что появление данной персоны зависит от того, оплодотворит ли ДАННЫЙ сперматозоид (один из 10 млрд) яйцеклетку. Очевидно, шансы появления чрезвычайно малы и составляют 10

, т.е. при обычном раскладе ими можно пренебречь, если только ВЫ не эта персона. С ее же точки зрения это событие должно было непременно случиться (т.е. с вероятностью единица), иначе бы она вообще не думала на эту тему! Конечно, указанная персона могла бы сказать, что ее могло и не быть, и прийти к тому же заключению, что и сторонний наблюдатель. Однако это неверно в Мультиверсе, в котором происходят все события, разрешенные законами физики. В Мультиверсе обязательно найдется хаббловский объем, в котором именно этот сперматозоид оплодотворит яйцеклетку, а значит, появление этой персоны неизбежно. Далее, очевидно, что только появившись на свет (и, вероятно, окончив университет), персона будет способна задаться вопросом о вероятностном распределении, приведшем к ее существованию. Отсюда действительно, как ни странно, следует, что с точки зрения данной персоны вероятность ее появления равна 100%! Это не ошибка, не суждение задним числом и не обман. Именно это обстоятельство позволяет обосновать использование асимметричной стратегии каждым отдельным наблюдателем, применение которой неизбежно приводит к справедливости Аргумента Doomsday.

4. Когда наступит конец света?

Для того чтобы использовать (1), нужны какие?то оценки для условных вероятностей и общего числа всех людей. «Проще» всего с величиной N

. Мы примем ее равной общему числу всех людей, когда-либо живших (и живущих сейчас) на Земле. Следует сказать, что даже эта величина нам неизвестна. Разброс составляет от 40 до 100 млрд! Например, Форстер [Foerster, 1961] использует эмпирическую формулу

где N (t) – общее число людей, живущих в момент времени t, которое, в свою очередь, отсчитывается от Рождества Христова. При этом C = 179, а T = 2027. В свою очередь, Хорнер [Hoerner, 1975] предлагает другие величины для параметров, входящих в (7): C = 200, T = 2025. Обе оценки очень неплохо согласовывались с общими демографическими данными, полученными разными способами, однако после 2000 г. появляются расхождения. Например, по Форстеру N (2002) ? 7,2 ? 10

человек, а по Хорнеру N (2002) ? 8,7 ? 10

. Вместе с тем, по официальным данным, количество народонаселения на Земле в 2002 г. только перевалило за 6 млрд и составило N (2002) ? 6,2 ? 10

человек. Это означает необходимость модификации (7).

Однако мы можем использовать (7) для вычисления среднего числа когда-либо живших на Земле людей. Для этого необходимо проинтегрировать N (t) от некоторого начального момента t 1 до, скажем, 2000 г. и разделить на среднюю продолжительность жизни ?. Оценки для ? варьируются от ? = 22 года (в прошлом) до ? = 42 года в наше время. Подчеркнем, что физический (или демографический) смысл величины ? таков: это среднее время смены поколений, и его можно лишь условно считать средним временем жизни. Реальное время жизни человека немного (а в развитых странах – намного) больше этого числа. Тем не менее в качестве первого приближения будем использовать эти оценки.

Полагая ? = 42 года, t 1 = ? 10

лет и интегрируя (7), получаем N

= 26 ? 10

человек для модели Форстера и N

= 29 ? 10

для модели Хорнера. Выбор ? = 22 года фактически удваивает эти величины. Если же выбрать t 1 = 10

лет от Р.Х., то число когда-либо живших людей оценится в 35 млрд человек при ? = 42 года или 70 млрд при ? = 22. Оценка Хорнера дает несколько большее значение. Мы не будем анализировать эти, в общем, не тривиальные проблемы, а остановимся на оценке в 60 млрд человек: N

= 6 ? 10

.

Значительно сложнее обстоит дело с величиной N

. Ситуация здесь следующая: очевидно (7) не работает при приближении к t = T, а значит, эта формула должна быть модифицирована. Приближение к особой точке приводит к так называемому демографическому переходу, феноменологическую теорию которого развивает Капица [Капица, 1996]. Отсылая заинтересованного читателя к этому обзору за подробностями, мы ограничимся выводами (не бесспорными, но это все, что у нас пока есть). Согласно Капице, точка демографического перехода отвечает 2007 г. После этого от двух от пяти десятилетий режим роста будет выходить на стационарную кривую, отвечающую максимальной численности N

в 15 млрд человек, причем режим будет уже устойчивым и неизменным. Эту картину и примем для оценки N

.

Прежде всего положим в (1) p

= p

и запишем N

= N