Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Теперь мы получаем ситуацию, аналогичную ситуации с числами A, B, только с меньшими числами A

, B

. Анализируя теперь (5) изложенным выше способом, мы будем вынуждены признать, что должны существовать числа

A

=B

, где A

<A

; B

<B1 (6)

Следуя этим путем, мы неизбежно придем к случаю, когда существование чисел A

=B

, где A

<A

; B

<B

как прямое следствие предположения (1) станет невозможно. Следовательно, наше начальное предположение (1) также невозможно и таким образом теорема доказана[41 - В реконструированном доказательстве Ферма исключается ошибка, допущенная у Евклида. Однако, начиная с Гаусса, другие известные доказательств основной теоремы арифметики повторяют эту же самую ошибку. Исключением является доказательство, которое получил немецкий математик Эрнст Цермело, см. Приложение I.].

Глядя на это очень простое и даже элементарное доказательство методом спуска, естественно, возникают недоуменные вопросы, как же это могло так случиться, что в течение многих веков наука не только это доказательство не получила, но и была в полном неведении, что у неё нет никакого доказательства вообще? С другой стороны, даже заблуждаясь в этом вопросе, т.е. считая, что эта теорема была доказана ещё Евклидом, как наука могла её игнорировать, используя «комплексные числа» и обрекая себя тем самым на разрушение изнутри? И наконец, как же можно объяснить, что эта очень простая, по сути, теорема, на которой держится вся наука, вообще не преподаётся в средней школе?

Что же касается метода спуска, то данное доказательство является одним из самых простых примеров его применения, что встречается довольно редко из-за широкой универсальности этого метода. Гораздо чаще для применения метода спуска требуется большое напряжение мысли, чтобы подвести под него логическую цепь рассуждений. С этой точки зрения могут быть поучительны и некоторые особые примеры решения задач этим методом.

3.4. Метод спуска и «острота ума»

Мы рассмотрим теперь ещё один пример задачи из письма-завещания Ферма, которая сформулирована там следующим образом:

Существует только один целый квадрат, который, увеличенный на два, даёт куб, этот квадрат равен 25.

Когда по предложению Ферма её попытался решить лучший английский математик того времени Джон Валлис (John Wallis), то он был очень сильно раздосадован и вынужден признать, что не может это сделать. Более двух веков считалось, что решение этой задачи получил Леонард Эйлер, но его доказательство основано на применении «комплексных чисел», а мы-то знаем, что это вовсе не числа, т.к. они не подчиняются основной теореме арифметики.

И только в конце ХХ века Андре Вейль (Andrе Weil) с помощью метода треугольников Ферма, всё-таки сумел получить доказательство [10]. Это был большой прогресс, т.к. здесь использован чисто арифметический метод, однако применительно к данной задаче он явно был притянут за уши. Мог ли Ферма решить эту задачу проще? Ответ на этот вопрос мы также извлечём из тайника, что позволит нам раскрыть и эту тайну науки в виде следующей реконструкции.

Итак, мы имеем уравнение p

= q

+ 2 с очевидным решением p=3, q=5. Для доказательства утверждения Ферма, предположим, что существует ещё одно решение

P > p=3, Q > q=5, которое удовлетворяет уравнению

P

= Q

+ 2 (1)

Поскольку очевидно, что Q>P, то пусть

Q = P + ? (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

P

(P–1)–2?P–?

=2 (3)

Здесь нам потребуется самая малость «остроты ума», чтобы заметить, что ?>P, иначе уравнение (3) невыполнимо. Действительно, если сделать пробу ?=P, то слева (3) будет P

(P–4)>2, что не подходит, следовательно, должно существовать число ?

=?–P. Тогда, подставляя ?=P+?

в (3), получим

P

(P–4)–4?

P–?

= 2 (4)

Теперь-то мы непременно заметим, что ?

>P, иначе по той же логике, что и выше, слева (4) мы получим P

(P–9)>2, что опять-таки не подходит, тогда, должно существовать число ?

=?

–P, и подставляя ?

=P+?