Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

+b

=c

в целых числах не решается, если в качестве ключевой формулы взять abc=d. Однако такие «идеи» при одном только подозрении на подмену предмета доказательства вообще не должны рассматриваться, т.к. фокусники только и надеются на трудности прямого опровержения их трюка.] А по части «доказательства» Э. Вайлса гипотезы Танияма – Симура, он и сам признал[43 - Вот как сам Э. Вайлс комментирует ошибку, найденную в его «доказательстве» в 1993 г.: «Even explaining it to a mathematician would require the mathematician to spend two or three months studying that part of the manuscript in great detail» – «Для того чтобы объяснить это математику нужно 2-3 месяца очень подробного обучения этой части текста». См. интернет публикацию Novahttp://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html (http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/andrew-wiles-fermat.html)Выходит, что это «доказательство» понимает только его автор, а всем остальным нужно учиться и учиться.], что нужно очень много учиться, (естественно, у Вайлса), чтобы понимать все его нюансы, изложенные аж на 130 страницах (!!!) научного журнала «Annals of Mathematics». Вполне естественно, что после появления столь экзотического «доказательства», учёные от такого издевательства над наукой никак не могут прийти в себя, Интернет изобилует всякими опровержениями[44 - См., например, интернет издания «Ивлиев Ю.А. Разгадка феномена Великой теоремы Ферма», или Руди Л.В. «Гипотеза Эндрю Била – Это очередная провокация математической мафии против молодежи мира». Подобные развенчания очень подробны, но слишком избыточны, поскольку доводы основных авторов «доказательства» ВТФ Г. Фрая и Э. Вайлса выглядят настолько нелепыми, что ни чем иным, как гипнотическим влиянием нечестивого, невозможно объяснить, как в течение многих лет после 1995 г. почему-то никто из признанных учёных мужей так и не заметил, что вместо доказательства ВТФ нам подсунули нечто совсем другое.], и нет никаких сомнений в том, что какого-либо общепризнанного доказательства ВТФ до сих пор так и не существует.

Впрочем, нужно отметить и то, что для миллионов соискателей мировой славы самой дурной новостью было бы сообщение о том, что найден тайник с рукописями Ферма, среди которых есть и доказательство ВТФ. Но всё же наука не может столетиями топтаться на месте, тем более, когда речь идет о задачке уровня средней школы. Кроме того, всех страждущих великих свершений мы можем успокоить тем, что поделимся с ними большим секретом о том, что если эта новость всё же появится, то вместе с ней появится и новая, гораздо более амбициозная задача, которой нынешней науке может хватить ещё на века.

Особая значимость ВТФ состоит в том, что, по сути, это один из простых случаев сложения степеней, когда только сумма двух квадратов может быть квадратом, а для более высоких степеней такое сложение невозможно. Однако согласно теореме Варинга-Гилберта, любое натуральное число, (в т. ч. и целая степень), может быть суммой одинаковых, (или таких же), степеней[45 - Аналогично примеру от Пифагора 3

+ 4

= 5

очень простой и красивый пример сложения степеней обнаружил Эйлер: 3

+ 4

+ 5

= 6

. Другие примеры см. в комментарии 16.]. И вот эта, куда более сложная и не менее фундаментальная теорема была доказана значительно раньше, чем ВТФ.

Отметим также и тот факт, что ВТФ привлекает к себе особое внимание вовсе не потому, что эта задача простая на вид, но очень трудная для решения. Есть и значительно более простые на вид задачи, которые не то, чтобы решить, но и как подступиться к ним никто толком не знает[46 - Например, проблема бесконечности множества пар простых чисел-близнецов, или задача Гольдбаха о представлении любого чётного натурального числа суммой двух простых чисел. Да и решение самой крутой задачи арифметики об эффективном способе вычисления простых чисел пока ещё очень далеко от совершенства, несмотря на тонны бумаги, затраченной на исследования этой проблемы.]. ВТФ отличается от других задач тем, что попытки найти её решение приводят к бурному росту новых идей, которые становятся импульсами для развития науки. Однако на этом пути было столько всего наворочено, что даже и в очень объёмистых исследованиях всё это не удается систематизировать и объединить[47 - В частности Эдвардс в своей внушительной по объему книге [3], [28] оказался не в курсе того, что задачу Ферма о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов решил Гаусс. Но именно эта задача стала своебразным мостом к последующему открытию ВТФ. Сам Ферма впервые сообщил о ней в письме к Блезу Паскалю от 25.09.1654 г. и это одно из свидетельств того, что из всех своих научных работ ВТФ – это действительно последнее и самое большое его открытие.].

Великие учёные не придавали особого значения построению основ науки, видимо считая такое творчество чисто формальным делом, но вековые неудачи с доказательством ВТФ указывают на то, что они недооценивали значимость такого рода исследований. Теперь же, когда выяснилось, откуда мог взяться такой эффективный инструмент науки, как метод спуска, а также и другие инструменты, основанные на понимании сущности числа, становится ясно, почему Ферма так явно превосходил в арифметике других математиков, а его оппоненты издавна и до сих пор находятся в полнейшем недоумении от этого очевидного факта.

Для них было бы за пределами их понимания узнать, скажем, о том, что сам Ферма справился бы с ВТФ гораздо проще, чем это ему удалось, если бы ещё в те времена кто-нибудь эту задачу ему предложил. Здесь мы подходим к тому, что главная причина неудач в поисках доказательства ВТФ кроется в различии подходов к решению задач у Ферма и других учёных, а также в том, что в части основ арифметики даже современная наука не достигла знаний, которыми ещё в те далёкие времена располагал Ферма. Эту ситуацию нужно исправлять, поскольку иначе ВТФ так и будет продолжать дискредитировать всю науку.

В исследованиях на тему ВТФ одним из основных был вопрос о том, какой метод применил Ферма для доказательства этой теоремы? Мнения были самые разные, а чаще всего предполагалось, что это был метод спуска, но тогда сам Ферма вряд ли назвал его «поистине удивительное доказательство». Также не мог он применить и метод Куммера, от которого был получен наилучший результат в доказательстве ВТФ за последние 170 лет. Но может быть у него, кроме метода спуска, были ещё и другие методы?

Да, действительно и об этом в подробностях рассказывает в своем трактате «Новое открытие в искусстве анализа» Жак де Бильи (Jacques de Billy) [26]. Там он подробно излагает методы Ферма, позволяющие ему находить сколько угодно решений в системах из двух, трех и большего числа уравнений. А вот его предшественники Диофант, Баше и Виет в лучшем случае находили лишь одно решение. После демонстрации методов Ферма для решения двойных равенств Бильи указывает и на самый главный вывод, который отсюда следует:

«Этот род действий служит не только для решения двойных равенств, но и для любых других уравнений».

Теперь остается лишь выяснить, как можно использовать систему из двух уравнений для доказательства ВТФ? Очевидно, что математики просто не обратили внимания на такую явную подсказку со стороны Ферма или не поняли её смысла. Но для нас-то это не проблема, мы ведь можем заглянуть в тайник и покопаться в «еретических письменах»! Опираясь на то, что нам уже удалось восстановить из работ Ферма, мы можем теперь приступить к раскрытию и этой величайшей тайны науки, указав ещё и эффективный метод, позволяющий решить проблему доказательства ВТФ.

Как это ни удивительно, суть этого метода оказалась довольно проста. В случае, когда есть столько уравнений, сколько в них неизвестных, то такая система решается путем обычных подстановок. Но если есть лишь одно уравнение с несколькими неизвестными, то бывает очень трудно установить, может ли оно вообще иметь какие-то решения в целых числах. В этом случае числа, предполагаемые как решения, можно выразить в виде ещё одного уравнения, под названием «Ключевая формула», и тогда результат можно получить через решение системы из двух уравнений. Похожие приёмы, когда одни числа выражаются через другие, применялись математиками всегда, но суть ключевой формулы в другом – она формирует именно то число, которое отражает суть проблемы, и это очень упрощает путь к решению исходного уравнения. В таких подходах и методах, опирающихся на понимание сущности числа, собственно, и заключается основное превосходство Ферма над другими учёными[48 - Главное и принципиальное отличие методов Ферма от методов других учёных заключается в том, что его методы достаточно универсальны для очень широкого круга задач и не связаны напрямую с конкретной задачей. Как правило, попытки решить задачу начинаются с пробных вычислений и перебором всех возможных вариантов, и те, кто быстрее считает, получают соответственно больше возможностей её решить. У Ферма иной подход, он делает пробы только с той целью, чтобы подвести их под какой-либо подходящий для данной задачи универсальный метод. И как только ему это удается, то задача практически решена, причем результат гарантирован даже в том случае, если впереди остается ещё очень большой объем рутинных вычислений. См., например, комментарий 24.].

Чтобы стало возможно следовать по тому пути, который когда-то уже был проложен Ферма, нужно найти начальное звено из цепи событий, приводящих к появлению ВТФ, иначе шансов на успех будет крайне мало, т.к. всё остальное уже исхожено вдоль и поперёк. И вот если мы именно так поставим вопрос, то неожиданно обнаружим, что это самое начальное звено ещё с 1670 года было у всех на виду, однако с тех самых пор, никто на него ровным счётом никакого внимания не обращал. А ведь речь идёт о той самой задаче под номером 8 из книги II «Арифметики» Диофанта, к которой и было написано замечание Ферма, ставшее затем знаменитой научной проблемой. Все-то думали, что эта простая на вид задачка никаких сложностей для науки не представляет и только один Ферма был иного мнения и много лет трудился над её решением. В итоге он не только его получил, но в придачу к этому обеспечил своему имени неувядаемую мировую славу.

4.2. Задача Диофанта

Книга под названием «Арифметика» Диофанта очень старая, но вероятно она появилась не в III, как это считалось до недавнего времени, а в XIV или XV столетии. По тем временам, когда ещё не было печатных изданий, это был очень внушительный по объёму манускрипт, состоящий из 13 книг, из которых только шесть дошли до нас. В сегодняшнем печатном виде – это совсем небольшая книжка объёмом чуть более 300 стр. [19].

В 1621 году во Франции появилось издание этой книги на греческом языке оригинала с латинским переводом и замечаниями издателя, которым был Баше де Мезириа?к (Bachet de Mеziriac). Это издание стало основой для работ Ферма по арифметике. Содержание книги составляют 189 задач и для всех даны решения. Среди них есть как довольно простые, так и очень трудные задачи. Но поскольку они решены, то создаётся ложное впечатление о том, что эти задачи не образовательные, а скорее развлекательные, т.е. они нужны не для того, чтобы формировать науку, а для проверки на сообразительность. В те времена по-другому и быть не могло, поскольку даже просто грамотных людей, умеющих читать и писать, было наперечёт.

Однако с точки зрения научной значимости представленных здесь задач и их решений, создание такой книги, не то, что средневековому Диофанту, но и всем учёным за всю обозримую историю было бы абсолютно невозможно. Более того, даже хотя бы должным образом усвоить содержание «Начал» Евклида и «Арифметики» Диофанта стало непосильной задачей для всей нашей науки. Тогда, естественно, возникает вопрос, как же всё-таки авторы этих книг сумели создать такие творения? Конечно, у науки он тоже возникал, но вместо ответа она хранит пока лишь своё гордое молчание. Ну что же, тогда ничто нам и не препятствует высказать здесь свою версию.

По всей видимости, это были каким-то образом сохранившиеся, а затем восстановленные письменные источники знаний погибшей в более ранние времена высокоразвитой цивилизации. Прочитать и восстановить их могли только особо одарённые люди, с экстрасенсорными способностями, позволяющими понимать письменные источники, независимо от носителя и языка, на котором они были изложены. Евклид, который вероятнее всего был царём, задействовал целый коллектив таких людей, а Диофант справился один, так и появилось авторство того и другого, хотя фактически над книгами работали не учёные, а всего лишь переписчики и переводчики. Но вернёмся теперь к той самой задаче 8 книги II «Арифметики» Диофанта:

Данное число в квадрате разложить на сумму двух квадратов.

В примере Диофанта число 16 раскладывается на сумму двух квадратов и его метод даёт одно из решений 4

=20

/5

=16

/5

+12

/5

, а также бесчисленное множество других подобных решений[49 - В оригинале решение задачи Диофанта следующее. «Пусть надо разложить число 16 на два квадрата. Положим, что 1-й равен x

, тогда 2-й будет 16 ? x

. Составляю квадрат из некоторого количества x минус столько единиц, сколько их в стороне 16-ти; пусть это будет 2x – 4. Тогда сам этот квадрат равен 4x

–16 x +16. Он должен равняться 16 ? x

. Прибавим к обеим сторонам недостающее и вычтем подобные из подобных. Тогда 5x2 равно 16 x и x окажется равным 16-ти пятым. Один квадрат 256/25, а другой 144/25; оба сложенных дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом» [19].]. Но ведь это же не решение задачи, а всего лишь доказательство того, что любой целочисленный квадрат сколько угодно раз можно составить из двух квадратов, либо в целых, либо в дробных рациональных числах. Отсюда следует, что практическая ценность метода Диофанта ничтожна, поскольку с точки зрения арифметики дробные квадраты – это бессмыслица типа, скажем, треугольных прямоугольников или чего-то в этом роде. Очевидно, что эта задача должна решаться только в целых числах, но у Диофанта такое решение отсутствует и, естественно, Ферма стремится сам решить эту задачу, тем более что вначале ему она видится совсем не сложной.

Итак, пусть в уравнении a

+b

=c

дано число c и нужно найти числа a и b. Проще всего найти решение, разложив число c на простые множители:

c=pp

p

…p

; тогда

c

=p

p