Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

F

= Y

;

F

= ?Y

– Y

Y

– Y

. (36)

Находим стационарное решение

Y

= Y

= 0. (37)

По формуле (П12) с учетом (36) находим коэффициенты линейного разложения

а

= 0;

а

= 1;

а

= –2Y

Y

– 1;

а

= ? – Y

т.

По формулам (П22) находим

B = ? – Y

;

? = 2Y

Y

+ 1; (38)

D = (? – Y

)

– 4 ?.

Подставив стационарное решение (37) в (38), получим, что

B > 0; ? > 0; D = ?

– 4. (39)

2.3.3. Если ? достаточно мало, то D становится отрицательным, а распределение знаков в (39) соответствует неустойчивому фокусу (см. (П30)). В этом случае фазовая траектория в координатах Y

и Y

будет представлять собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

Раскручивание спирали приводит к тому, что с течением времени увеличивается переменная Y

, которую мы использовали для обозначения угловой величины ? из уравнения (35). Если величина ? вырастает настолько, что выполняется ?

> ?, то знак перед производной первого порядка в уравнении (35) становится положительным. Тогда в первом из уравнений (38) мы получим, что B = —? (при Y

= 0), т. е. B < 0. Учитывая, что ? > 0; D < 0, и сравнивая с выражением (П25), приходим к заключению о том, что в этом случае стационарное решение (37) является устойчивым фокусом. Фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (см. рис. П2).

Эволюционная диаграмма переменной Y

показана на рис. 4. Штриховой линией обозначены фазовые траектории в пространстве Y

, Y

. Огибающие этих траекторий выделены. Вид сечения эволюционной диаграммы в месте сшивки двух конусов в координатах Y

и Y

совпадает с предельным циклом. При этом очевидно, что радиус спирали с течением времени стремится к значению ?? по оси Y