Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

= – ?; a

= c;

a

= µY

– ? = 0 – ? = – ?;

a

= µY

+ ? = 0 + ? = ?.

По формулам (П22) вычислим B, ? и D:

B = ? – ?, ? = ?c – ??, D = (? + ?)

– 4?c.

Выше мы уже установили, что ? и ? меньше, чем ? и с. Это позволяет нам определить знаки только величин ? и D: ? > 0; D < 0. Для B возникают две ситуации.

Ситуация 1: ? > ?. В этой ситуации большинство клиентов сохраняют верность фирме (? уменьшается). При этом распределение знаков имеет вид

B > 0; ? < 0; D > 0.

Последнее совпадает с (П30), т. е. в данном случае решение (29) соответствует неустойчивому фокусу (см. рис. П5). Расширяющаяся спираль указывает на рост значений переменных Y

и Y

(числа клиентов и прибыли).

Ситуация 2: ? < ?. Эта ситуация возникает, если фирма по каким-либо причинам теряет часть клиентов (? увеличивается). Распределение знаков имеет вид

B < 0; ? < 0; D > 0.

Данное сочетание знаков совпадает с (П25), т. е. в данном случае решение (29) соответствует устойчивому фокусу (см. рис. П2). Сжимающаяся спираль указывает на уменьшение числа клиентов Y

и прибыли Y

.

На практике механизм перехода фирмы из одной ситуации в другую может выглядеть следующим образом.

В ситуации 1 благодаря состоянию «неустойчивый фокус» (расширяющаяся спираль в пространстве координат Y

и Y

) происходит рост числа клиентов и прибыли. По мере роста числа клиентов увеличивается и число страховых выплат. Наступает момент, когда клиентов становится настолько много, что их взносы не покрывают убыток от страховых выплат. В этом случае фирма вынуждена уменьшить, например, размер страховой премии. Из-за этого часть клиентов уходит из данной фирмы (? увеличивается). В результате фирма оказывается в ситуации 2. Этой ситуации соответствует состояние «устойчивый фокус» (сжимающаяся спираль в пространстве координат Y

и Y

). В таком состоянии число клиентов уменьшается до тех пор, пока прибыль фирмы не позволит вернуться к прежней повышенной страховой премии. В этом случае клиенты перестанут уходить из фирмы, что соответствует уменьшению ?. В результате фирма переходит в ситуацию 1, и т. д.

2.2.2.4. Таким образом, мы показали, что система «частная страховая фирма» с течением времени приходит к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимальных значений числа клиентов и размера прибыли. Сами оптимальные значения зависят от величин коэффициентов ?, ?, ? и с.

2.3. Модель устойчивости физической системы: генератор Ван дер Поля

В этом разделе мы покажем, что устойчивое поведение маятника, колеблющегося в среде с переменной вязкостью, и устойчивое поведение средней фирмы, рассмотренное нами в разделе 2.1, имеют много общего [28].

2.3.1. Рассмотрим систему, представляющую собой математический маятник, совершающий колебания в вязкой среде, коэффициент вязкости ? которой зависит от ? – угла отклонения маятника от положения равновесия – по следующему закону: а) ? < 0 при малых ? и б) ? > 0 при больших ?. Такая система при некотором критическом значении угла ? должна совершать устойчивые колебания по типу предельного цикла (т. е. с постоянной амплитудой) [2].

Нетрудно сообразить, что указанному закону удовлетворяет следующее выражение

? = ?

(?

– 1),

где ?

– коэффициент вязкости среды в отсутствие колебаний.

Подставив это выражение вместо коэффициента вязкости в известное уравнение колебаний маятника в вязкой среде (см., например, (П15)), получим

(34)

где ? – время; ?

= gK – квадрат циклической частоты колебаний; K – кривизна траектории маятника; g – ускорение свободного падения.

Уравнение (34) называется уравнением Ван дер Поля, а система, которую оно описывает, – генератором Ван дер Поля [2].

В безразмерном виде уравнение (35) имеет вид:

(35)

где 

2.3.2. Покажем, что устойчивым стационарным состоянием (аттрактором) генератора Ван дер Поля действительно является предельный цикл. С этой целью уравнение (35) приведем к виду эволюционного уравнения (см. (П6)):

где Y

= ?; Y

= d?/dt;