Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

где c = ?D

Q.

Количество страховых выплат Q* найдем из (21) (напомним, что в данной модели в роли Y выступает Y

, в роли N выступает Y

):

Подставим это выражение в (26)

(27)

где введены обозначения ? = ?/p; ? = ?s/p.

Выражение (27) представляет собой систему эволюционных уравнений частной страховой фирмы (сравните с (П6)).

2.2.2.2. Найдем стационарное решение. Для этого к (27) применим условие (П8):

Как видим, второе уравнение дает для Y

два значения:

С учетом первого уравнения приходим к двум стационарным решениям (стационарным состояниям фирмы):

(28)

2. Y

ст = Y

ст = 0. (29)

2.2.2.3. Чтобы проверить данные стационарные решения на устойчивость, необходимо задать их возмущения. Затем следует проанализировать, как возмущения изменяются с течением времени: если уменьшаются, то состояние устойчиво, если увеличиваются, то неустойчиво.

Учтем, что наша модель содержит две переменные Y

и Y

. Благодаря этому процесс выяснения устойчивости упрощается. Мы можем воспользоваться результатами Приложения П2.3, полученными для системы с двумя переменными. В частности, чтобы проверить стационарные решения (28) и (29) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ? и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a

, a

, a

и а

. Их мы найдем с помощью (П12), в которой F

возьмем из системы эволюционных уравнений (27) нашей задачи.

Согласно (П12),

(30)

(31)

(32)

(33)

1. Вначале проверим на устойчивость решение (28). Для этого его следует подставить в полученные выше выражения для а

и а

. В результате найдем

По формулам (П22) вычислим B, ? и D:

Чтобы определить их знаки, проведем сравнительную оценку величин коэффициентов ?, ?, ? и с.

Коэффициент ? характеризует долю клиентов, решивших расторгнуть страховые отношения с данной фирмой (см. формулировку первой главной пропорции в 2.2.2.1). Если фирма не банкрот, то ? должна быть малой величиной.

Напомним, что ? = ?/p, при этом p – размер страховой выплаты клиенту, т. е. большая величина. Поэтому мы полагаем ? малой величиной.

Так как ? = s ?/p, т. е. в s раз больше, чем ?, то ? полагаем сравнительно большой величиной (напомним, что s >>1).

Величина c также должна быть большой, так как этот коэффициент пропорционален доходу D

(D

> 1) и количеству несчастных случаев Q за некоторый период (Q >> 1).

В результате получаем следующее распределение знаков:

B > 0; ? < 0; D > 0.

Такое сочетание знаков совпадает с (П32). В этом случае стационарное решение (28) соответствует седловой неустойчивости.

Таким образом, решение (28) является неустойчивым.

2. Проверим на устойчивость стационарное состояние (29). Для этого его стационарные значения Y

и Y

подставим в (32) и (33). В результате с учетом (30) и (31) найдем:

a