Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Следовательно, и q(t) является многочленом нулевой степени, т. е. является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную, например, с: q(t) = c. Тогда

y

= q(t) = c. (13)

Постоянную с найдем, подставив y

в (5):

Воспользуемся (13):

Здесь мы учли, что

Найденное значение с подставим в (13):

– частное решение уравнения (5). Его общее решение запишем по формуле (6) (y* возьмем из (9)):

(14)

Выражение в скобках можно упростить, заменив постоянные A

и A

на новые постоянные A и ?

по формулам

A

= A sin ?

и A

= A cos ?

(легко увидеть, что 

). Тогда

A

cos ?t + A

sin ?t = A (sin ?

cos ?t + cos ?

sin ?t) = A sin (?t + ?

).

В результате (14) примет вид

(15)

Уравнение (15) представляет собой формулу зависимости от времени количества товара, приобретаемого благодаря действию рекламы.

Из (15) следует, что если рекламировать товар с постоянной интенсивностью достаточно долго (a = const), то начнутся колебания y вокруг постоянного значения a/?, т. е. возникнет чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы (см. рис. 1).

Сравним (15) с известным законом колебательного движения

x = A sin (?t + ?

).

Как видим, ? совпадает по смыслу с циклической частотой ?. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2?/?, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:

где ? вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.

Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы

Глава 2

Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем

К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.

Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.

Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.

2.1. Анализ устойчивости фирмы, средней (в некотором регионе) по числу сотрудников и оборотному капиталу

(Изложение данного раздела следует работам [26, 28].) Пусть в фирме работает Y

сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется Y

. Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?

Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).

2.1.1. Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6)

). В нашем случае речь идет о Y

и Y

: