Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

В отношении же B однозначного ответа нет: и µ, и ? – оба малые. Следовательно, мы приходим к двум возможным ситуациям: µ > ? и µ < ?.

Ситуация 1: µ > ?. Это означает, что коэффициент ? – невелик, и причин для увольнения мало.

В этой ситуации знаки величин из (20) распределятся следующим образом:

Такое сочетание знаков совпадает с (П30). В этом случае стационарное решение (19) соответствует неустойчивому фокусу. Фазовая траектория в координатах Y

и Y

представляет собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

Раскручивание спирали указывает на рост числа сотрудников Y

и капитала Y

. Но ввиду разновеликости коэффициентов ? и µ (? > µ) наступает момент, когда во втором уравнении системы (18) в правой его части первое слагаемое окажется меньше второго и прирост капитала dY

/dt станет отрицательным. На практике это выглядит так, что по мере роста числа сотрудников наступает момент, когда их становится настолько много, что фирма уже не может достойно (по мнению сотрудников) оплачивать их труд. Сотрудники увольняются. Последнее дает увеличение ?. И тогда фирма оказывается в ситуации 2.

Ситуация 2: µ < ?.

Соответствующее распределение знаков величин из (20) имеет вид

Данное выражение совпадает с (П25). В этом случае стационарное решение (19) является устойчивым фокусом, а фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (рис. П2). Следовательно, число сотрудников Y

уменьшается.

Но опять-таки из-за разновеликости ? и µ неизбежно наступит момент, когда, начиная с некоторого значения Y

, прирост капитала dY

/dt из (18) окажется положительным. При этом причин для увольнения станет меньше (сотрудников останется настолько мало, что фирма сможет достойно оплачивать их труд). Как следствие, значение коэффициента ? понизится. Это приведет фирму снова к ситуации 1. Затем все повторяется.

2.1.5. На рис. 2 показана «сшивка» эволюционных диаграмм двух описанных ситуаций. Линией с пониженной яркостью обозначены фазовые траектории переменных Y

и Y

. Огибающие этих траекторий выделены.

Как видно из рисунка, существует пороговое значение числа сотрудников Y

*, при пересечении которого меняется направление движения системы по осям. В точке Y

= Y

* действия спиралей устойчивого и неустойчивого фокусов взаимно уравновешиваются. Благодаря этому фазовая диаграмма в координатах Y

и Y

приобретает вид замкнутой траектории и соответствует устойчивому предельному циклу (см. рис. 19).

Вывод о существовании здесь предельного цикла также следует из применения теоремы Пуанкаре ? Бендиксона. Согласно этой теореме, если некоторая полутраектория остается внутри конечной области и не касается каких-либо особых точек, то эта полутраектория является предельным циклом, при этом внутренняя граница области может быть стянута в точку-источник (см., например, [19]). В рассматриваемой задаче неустойчивый фокус выступает в роли источника, а устойчивый фокус ограничивает систему сверху.

Таким образом, фирма с течением времени стремится к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимального числа сотрудников Y

* (рис. 3). Это оптимальное число сотрудников зависит от соотношения величин ? и µ ? соответственно коэффициента затрат на сотрудников и коэффициента, связанного с прибылью.

Рис. 2.

Рис. 3. Колебания числа сотрудников фирмы вокруг оптимального значения Y

*

2.1.6. Система уравнений (18) была записана в предположении, что коэффициент ? является постоянной величиной. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание. Как мы видели, в каждой из описанных ситуаций всегда наступал такой момент времени, когда ? изменялся. Этот факт явно указывает на зависимость данного коэффициента от времени. Однако на практике временной промежуток, в течение которого ? изменяется заметно, оказывается значительно меньше, чем длительность существования фирмы в любой из ситуаций. Поэтому мы имели полное право в пределах отдельной ситуации полагать ? постоянным.

2.1.7. Основанная на линейном анализе устойчивости методика поиска устойчивых состояний является общей для систем, имеющих различную природу. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в разделе 2.3 рассмотрена задача, в которой так же осуществлен поиск асимптотически устойчивого стационарного состояния (т. е. аттрактора, см. раздел П5.6), но теперь уже в физической системе – генераторе Ван дер Поля. Генератор Ван дер Поля представляет собой колебательную систему с нелинейными свойствами и часто используется в теоретических исследованиях, связанных с электроникой. Как показано в разделе 2.3, в пространстве двух переменных устойчивым стационарным состоянием генератора является предельный цикл.

2.2. Математическая модель устойчивости страховой фирмы

На примере предприятия, занимающегося конкретной деятельностью, мы продемонстрируем возможности линейного анализа устойчивости для математического моделирования экономической системы.

Поставим перед собой задачу определить устойчивые состояния страховой фирмы, а также экономические показатели, от которых зависит устойчивость такой фирмы [5, 30].

Важнейшей целевой функцией любой фирмы является прибыль. Согласно классическому определению, прибыль (Y) представляет собой разность между доходом (D) и расходом (R): Y = D – R. Специфика страховой фирмы проявляется в составляющих ее дохода и расхода. Введем следующие обозначения:

N – количество клиентов;

s – страховой взнос клиента;

p – размер страховой выплаты клиенту;

Q* – количество страховых выплат.

Тогда доход фирмы равен sN, а расход – pQ*. В результате приходим к известному уравнению, характеризующему суть страхового бизнеса:

Y = sN – pQ*. (21)

2.2.1. Модель государственной страховой фирмы

Характерной особенностью государственной страховой фирмы является требование всеобщего страхования (например, в рамках конкретного страхового профиля), т. е. N = const.

В качестве переменной задачи выберем прибыль страховой компании Y. Сформулируем главную пропорцию: прирост прибыли dY/dt (увеличение прибыли с течением времени t) пропорционален числу клиентов, а также величине самой прибыли, если часть прибыли вкладывается в какие-нибудь доходные предприятия (~ NY). Кроме того, следует отнять ту часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~ Q*). Уравнение, соответствующее данной пропорции, примет вид

(22)

где знак пропорции ~ мы заменили коэффициентами пропорциональности ? и ?.

Выразим Q* из (21)