Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

(5)

Это известное линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (НОЛУ). Уравнение (5) решаем стандартными математическими методами (метод решения НОЛУ см. в Приложении, раздел П1.4):

y = y* + y

, (6)

где y* – общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (ОЛУ); y

– частное решение НОЛУ.

Общее решение y* найдем из уравнения, в которое превращается (5) при замене правой части на 0. В этом случае НОЛУ переходит в ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3):

(7)

Воспользовавшись методикой решения ОЛУ, описанной в разделе П1.3 Приложения, составим и решим характеристическое уравнение:

Чтобы определить принадлежность корней k

к действительным или комплексным числам, необходимо знать знак разности ?

– 4??. Для этого раскроем смысл постоянных коэффициентов ?, ? и ?.

Постоянная ? появляется как коэффициент пропорциональности в уравнении (3), отвечающим за потенциальное действие рекламы. Отсюда смыл этого коэффициента заключается в том, что он обобщает собой условия, благоприятные для создания рекламы. Благоприятные потому, что, как видно из (3), чем больше значение ?, тем больше a – потенциальное действие рекламы. В частности, ? будет иметь малое значение в том обществе, в котором не используются современные рекламные технологии, и большое значение в противоположном случае.

Постоянная ? появляется как коэффициент пропорциональности в группе факторов F

. Чем больше значение ?, тем больше влияние F

на а, и наоборот. Поэтому ? должна характеризовать степень доступности товара в данном регионе.

Постоянная ? является коэффициентом пропорциональности в группе факторов F

. От ее значения зависит, как изменение дохода (dy/dt) среднего покупателя сказывается на восприятии им (покупателем) рекламы. Если ? мало, то это означает, что изменение дохода мало влияет на величину F

. В частности, в странах с высоким уровнем жизни большинства граждан значение ? должно быть достаточно малым.

Таким образом, в экономически развитых регионах ? и ? должны иметь сравнительно большие значения, а ? – малое. Поэтому ?

 – 4?? < 0, т. е. в выражении для k

разность под корнем имеет отрицательный знак. Следовательно, k

– комплексные:

где 

(8)

Как видим, k

соответствуют 4-му типу решения ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3). В этом случае решением уравнения (7) является выражение

y* = е

t (A

cos ?t + A

sin ?t), (9)

где A

и A

? константы интегрирования.

Частное решение y

определим по виду правой части уравнения, в качестве которой в (5) выступает a/?. Последнее соответствует первому виду правой части НОЛУ (см. Приложение, раздел П1.4), а именно

f (t) = p (t) e

. (10)

Действительно, для уравнения (5) функцию f (t) можно записать как

(11)

Сравнивая между собой (10) и (11), находим, что в нашей задаче

(12)

Напомним, что число, возведенное в степень, равно единице только в том случае, если степень равна нулю. Следовательно, ? = 0. Как видим, ? не совпадает с корнями характеристического уравнения k

. Поэтому для y

выбираем первый тип решения (выбираем пункт 1.а из раздела П1.4 Приложения):

y

= q(t) e

t = q(t)

(e

= 1, см. (12)). Определим вид q (t). Для этого учтем, что: а) q (t) – многочлен той же степени, что и р (t); б) в нашем случае р (t) – многочлен нулевой степени: