Высшая математика. Шпаргалка

} называются соответственно следующие последовательности: {x

+ y

}, {x

– y

}, {x

? y

}, {x

/ y

}, в случае частного y

? 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: a

> a

(a

< a

). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a

? a

(a

? a

).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность {a

} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ? > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |a

– A| < ?. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.

Число А называется пределом последовательности {a

}, если для ? > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |a

– A| < ?. Обозначение предела последовательности:

.

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для подпоследовательностей справедливо:

1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;

2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если

, то:

, где с – постоянная;

10. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {а

} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n a

? M (a

? m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {a

}.

Последовательность {а

} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Теорема. Последовательность {а

} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |a

| < r для всех n.

Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.

Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

Последовательность {а

} называется бесконечно малой, если для любого положительного ? существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a