Математическое моделирование исторической динамики

(9),

где – агрегированный показатель престижа и выгоды соперников, характеризуемый разбросом параметров и .

Данная процедура представляет собой положительную обратную связь, поскольку изменение выходного сигнала (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%B3%D0%BD%D0%B0%D0%BB) каждого из соперников  приводит к изменению входного сигнала остальных, которое корректирует состояние системы и ускоряет реакцию системы на изменение внешних параметров. Решив уравнение , получаем два состояния равновесия системы[486 - При взаимодействии многих участников, преследующих каждый свою цель (неантагонистический конфликт), набор выбранных ими стратегий называется равновесным, если одностороннее отклонение любого из них от выбранной стратегии приводит к уменьшению его «выигрыша»]: и .

В случае, если , то . Для , получаем, что ? = . Отсюда следует, что обобщённая характеристика системы обратно пропорциональна выгоде наиболее эффективного соперника. Если ввести оператор изменения совокупных стратегий , то соперничество в окрестности равновесия A* описывается как:

(10).

Поскольку наличие положительной обратной связи, по определению, делает систему нестабильной, важнейшей её характирестикой является стабильность состояния равновесия. Исходя из вышеизложенных соображений, из уравнения (10) можно определить необходимое и достаточное условие асимптотической стабильности состояния равновесия определяется неравенством , из которого следует, что устойчивый раздел ресурса достигается только в случае, когда имеется два соперника () действующие рационально и находятся достаточно близко к точке равновесия. Он существует всегда. Данный результат подтверждается практикой во многих сферах общественно-политической жизни различных стран и народов[487 - двупартийная система, раскол мировых церквей, институт соправительства кочевых империй, раздел Римской и Франкской империй, гвельфы и гиббелины, и т.д.].

Опираясь на полученный результат, сформулируем необходимое и достаточное условие конкурентоспособности обеих соперников. Из неравенства следует, что . При область устойчивости равновесия определяется неравенством . С учётом (8) и (10), получаем, что или . Отсюда имеем,

Локальная стабильность в окрестности равновесия отвечает неравенству:

или .      (11)

Условием асимптотической стабильности состояния равновесия является условие: . Из этого следует, что тривиальное состояние неустойчиво, поскольку из уравнения (9) следует, что, а это не так при. Для случая n=2 получаем двумерное отображение, известное как «отображение пекаря» для консервативной системы. В этом случае траектории движения системы фокусируются вокруг точки тривиального равновесия.

Рис. 6 иллюстрирует поведение соперников, стремящихся к обладанию неделимым или уникальным ресурсом[488 - Например, единоначалие]: победе на поле боя или выборах в одномандатном округе. В случае столкновения двух вождей или кланов это означает, что любая из их побед временна, поскольку победа каждого из соперников приводит к сплочению оппозиции против него. Подобное политическое явление присуще многим этниям, где существуют две параллельные линии наследования. Из уравнения (9) следует, что в борьбе за ресурс на каждом конкретном этапе соперники не проигрывают только при наличии двух противников и получают выгоду только при наличии одного. В случае участия в споре четырёх и более соперников некоторые из них гарантировано получают убытки и исключаются из дальнейшей процедуры, что автоматически приводит к изменению параметров модели, т.е. катастрофе.

Рис. 6. Соперничество за обладание неделимым ресурсом

Осознание перспективы проигрыша одним из соперников может спровоцировать его блок V подсистемы управления на нарушение правила III, т.е. отказаться от рационального поведения «ради выживания». В этом случае любая стратегия, обеспечивающая его успех, оправдывается победой независимо от затрат. Однако, он сможет участвовать в дальнейшем соперничестве только при условии, что его затраты не превысят выигрыш. В противном случае сегодняшний победитель согласно правилу VII не сможет соперничать впредь и, «вылетев» из системы приведёт её к катастрофе.

Другим вариантом поведения аутсайдера является нарушение правила VIII. Несмотря на то, что сговор нескольких соперников формально нарушает установленные ограничения, создание коалиции следует рассматривать как единого субъекта. Его появление меняет параметры модели, уменьшая количество соперников, и меняет точку равновесия. Следовательно, отход от правил лишает «нарушителей» свободы выбора и превращает их в объекты управления со стороны более приспособленных соперников. Изучаемая модель иллюстрирует процесс, в ходе которого возникают предпосылки для формирования верховной власти, которое поглощает «аутсайдера» и вступает в соглашение с более слабым партнёром, устанавливаю диархию[489 - институт соправительства].

§25. ЖИЗНЕСПОСОБНОСТЬ

„Приобретающий власть, теряет себя; не умножающий знания, теряет и то что знал”(Гиллель Вавилонянин)

Борьба за ресурс становится бесперспективной для тех из соперников, которые не обладают необходимыми характеристиками престижа и выгоды. В некоторых случаях, когда , это очевидно сразу, но в других случаях, например, при , нет. Определим условия, когда участие в борьбе за ресурс имеет шанс на успех. Сопоставив результат (11) с функцией изменения совокупных стратегий , получаем, что её область определения существует только в том случае, когда . Отсюда мы получаем два неравенства, которые определяют необходимое условие достижения устойчивости:

Следует обратить внимание на то, что с возрастанием количества соперников область их стратегий линейно расширяется, создавая новые возможности для соперничества.

Отсюда мы получаем состояние равновесия при условии, что 2 ?.n ?3.

. Откуда следует, что

(12).

Проанализируем поведение каждого из соперников в отдельности. Предположим, что каждый из них имеет информацию о действиях своих соперниках на предыдущем этапе. В этом случае стратегия может быть описана, как:

Условие VI определяет предел выгоды для каждого из соперников:

Отсюда имеем

и

Таким образом, поведение соперников, всегда поступающих рационально, описывается итерационной процедурой:

(13)

При этом множество инвариантно относительно процедуры (10). Отсюда для достижения точки равновесия сопернику i следует использовать стратегию независимо от действий конкурентов:

(14)

Равновесие стратегий означает, что. Решая систему уравнений (7*), получаем два состояния равновесия:

, и (15)

Поскольку, тривиальное состояние равновесия неустойчиво. Следовательно, единственной приемлемой стратегией для соперника i является стратегия:        (14*)

Просуммировав значения стратегий в точке равновесия для всех соперникам , получаем:

Итерационные процедуры (7) и (13) имеют единственное одно и то же нетривиальное состояние равновесия раздела ресурса. В этом случае выигрыш i в состоянии будет максимален и равен:

(16)

Агрегированный показатель , связывает институциональный престиж и выгоду и является ключевой характеристикой, определяющей поведение соперников.

Из (16) следует, что область равновесия определяется числом конкурентов и определяется из неравенства , т.е. . В случае, когда соперничают три субъекта, условие (12) приобретает форму системы неравенств , которые не выполняется ни для одного из соперников. Это неравенство определяет верхнюю границу, при которой возможно соперничество:

при наличии трёх и более участников система не достигает состояния равновесия, а при оно остаётся неустойчивым. По мере роста итераций количество старых соперников будет уменьшаться, пока не останутся двое.

В случае дуополии/дуумвирата поведение обоих соперников будет определяться следующими уравнениями:

Соперничество возникает в случае, если . Это значит, что параметры конкурентов должны отвечать неравенствам:. Отсюда получаем, что равноправное соперничествовозможно тогда ти только тогда, когда . Отсюда следует необходимое и достаточное условием равновесия обеих стратегий:

(17)

Из (17) следует, что в рамках предложенной модели раздел ресурса между соперниками неизбежен поскольку, используя стратегии из множества, они всегда достигают точки равновесия после некоторого числа итераций. Рис. 7 иллюстрирует этот плавный переход системы из одного состояния в другое. Это вовсе не означает, что катастрофы не произошло. Просто параметры старого равновесного раздела ресурса между двумя соперниками удовлетворяют необходимым и достаточным условиям состояния равновесия нового. В данном случае имеет место управляемый процесс, который поддаётся детерминированной стратегии.

Рис.7. Достижение равновесия при диархии

Конкретное значение состояния равновесия в случае диархии/дуумвирата можно найти, решив систему уравнений:

.

Отсюда имеем два состояния равновесия:

и .

Поскольку , получаем, что и ,то,.

Теперь определим условия локальной асимптотической стабильности для нетривиального состояния равновесия. Его необходимым и достаточным условием является расположение собственных значений матрицы Якоби[490 - Якобиан – определитель, построенный из производных] в состоянии равновесияитерационной процедуры (16) внутри круга единичного радиуса[491 - Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ISBN (https://en.wikipedia.org/wiki/ISBN_(identifier)) 0-7923-5564-4 (https://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0-7923-5564-4) (Exposition of the eigenfunctions the Baker's map).]. Для случая получаем:

.