Математическое моделирование исторической динамики

(4),

где – коэффициенты пропорциональности, устанавливающие связь между основными блоками геополитической модели Коллинза, изображённые на схеме 11.

Размер

+

Военный

территории

Успех

R-?

Схема 11. Структура обратной связи в геополитической модели Коллинза

Графическое решение уравнения (4) представлено на рис.5. Оно показывает, что мощь государства S, точнее его способность к экспансии, отрицательна при малых значениях военного потенциала:

(5).

Рис. 5. Скорость изменения территории в зависимости от размеров государства

Она растёт после пересечения определённого порога . По мере увеличения тыловой (логистической) нагрузки экспансионизм достигает своего максимума, а затем начинает снижаться.

Геополитическая модель Коллинза имеет две точки равновесия и . Первое из них является неустойчивым, поскольку при начальном условии ниже государство поглощается его соседями. В состоянии достигается устойчивое равновесие. Ниже этого значения способность к экспансии положительна, а выше – отрицательна, т.е. показатель S стремиться к этой точке. При этом нелинейность функциональных форм, не влияет на вид дифференциальной функции, которая представляет собой динамику первого порядка (однократный рост/упадок или повторяющиеся колебания).

Удлинение временного лага, с которым действует обратная связь, приведет нас к модели, описывающим колебания. Геополитические ресурсы также могут прирастать с запаздыванием во времени, поскольку требуется время, чтобы «переварить» новые завоевания. Оба этих явления можно описать с помощью разностных уравнений или добавляя дополнительные сравнительно медленно меняющиеся переменные. Включение этих параметров в цикл положительной обратной связи несколько замедляет экспансию, уменьшает её интенсивность и сдвигает значение влево, ограничивая естественные пределы государства. Едва этот рубеж пересечен, его способность защищать занятую территорию становится отрицательной.

Излишняя территория может быть завоевана соседями или оставлена, а обороноспособность восстановлена. Так, эта модель объясняет, почему Римская империя оставила свои провинции: Германию, Декуманские поля, Вавилонию, Дакию, Британию. Временным решением проблемы становится уменьшение значения параметра l , например, перенос центра империи в более выгодное с логистической точки место или изменение скорости передвижения, в частности, строительство мощёных дорог или использование транспорта.

Полуостровной характер территории (Европа) или островной характер (Япония) оказывается просто ускоряющим или предпочтительным условием, обеспечивающим безопасность за счет морской границы. Это преимущество имело значение и в более ранних ситуациях (Греция и Рим), например, и в преимуществах возникновения т.н. «осевого времени» – наиболее эффективного развития полисов или рабовладельческих демократий и империй частнорабовладельческого типа. В системе Маслоу это дополнительное условие есть удовлетворенная в железный век потребность в безопасности жизни.

Влияние позиционного эффекта можно определить путём введения пространственных переменных. Для этого модифицируем территориально-дистанционную модель Коллинза. Предположим, что территориальная динамика проходит в одномерном пространстве, а логистический коэффициент был представлен отрицательной экспоненциальной функцией расстояния:

(4.1),

где параметр определяет число противников на его границах. Для приближённого решения уравнения (4.1) заменим функцию на асимптотически близкое соотношение и получим новый вид зависимости:

(4.2).

Из (4.2) можно получить значение нетривиального равновесия, определяющего „разумные” пределы государства:

(6)

Из результата (6) следует, что рост числа врагов непропорционален изменению равновесного состояния. Когда равновесный размер государства с врагами с обеих сторон вдвое больше критического размера ( = 2), появление врага на одной из границ повлияет на увеличения на 30 %. В случае, когда =3, эффект пограничного положения увеличит А

менее, чем на 20 %. Таким образом, даже простая модель показывает, что выгодное положение границ лишь поначалу даёт некоторое преимущество государствам, которые имеют размеры, близкие к критическим. В остальном они обеспечивает довольно скромное увеличение размеров равновесного состояния государства по сравнению с центральным расположением. Другим немаловажным выводом является тот факт, что d – коэффициент пропорциональности, переводящий победу в размер захваченной территории, не влияет на её размеры, что выглядит несколько парадоксально. Отсюда следует, что скорость оккупации зависит от потенциала государства, а не интенсивности.

Таким образом, формализованные первые два принципа Коллинза не объясняют причины падения от перенапряжения сил для государств, превысивших критического размера. Более того, анализ модели ставит под сомнение принцип о преимущественном значении периферии, а наличие предела расширения указывает на невозможность катастрофы вследствие чрезмерного расширения при условии оптимального управления. Конечно, существует „предел жизнеспособности” системы, определяемый величиной доступного ресурса . Он зависит не столько от характеристик самой системы, сколько от воздействия внешней среды (т.е. силы ? и количества m внешних врагов) и технологического базиса, определяющего показатели ?, d, l, x.

§24. БОРЬБА ЗА РЕСУРС

„Тактический успех ничего не гарантирует”

(Руководство корпуса морской пехоты США)

Исследование кумулятивного эффекта и феномена «чрезмерного расширения», связанные с IV и V принципами Коллинза, следует проводить с учётом технологической платформы. Рассматренная динамическая модель обладает кибернетическим изоморфизмом для всех иерархий труда. Независимо от технологического уклада каждая из них действует рационально и преследует конкретную цель, которая состоит в максимизации функции полезности. Их свойства могут быть описаны ограниченным количеством параметров, что позволяет использовать концепт иерархии труда в математических моделях сложных систем, рассматривая его как коллективное соперничество с целью получения наибольшей выгоды.

Для качественного описания соперничества иерархий труда за ресурс используем эволюционную модель коллективного поведения. Пользуясь свойством институционального изоморфизма социальных систем, используем принцип свертки критериев[480 - Замена многих критериев одним или несколькими обобщающими путём присвоения им весовых коэффициентов]. Для её построения используем следующие предпосылки:

I. За некий объект соперничают n субъектов, представляющих собой иерархии труда. Общий объём производимого системой ресурса в каждый период соперничества ограничен, неизменен и равен S единиц.

II. Каждый из соперников j генерирует выгоду от приобретения/использования единицы ресурса (осуществляет Блок I)[481 - Этот показатель представляет собой исходную эффективность отдачи единицы ресурса из модели §12].

III. Все соперники действуют рационально, т.е. стремятся к максимизации своей выгоды (осуществляет Блок V).

IV. Каждый соперник характеризуется престижем, который характеризует его социальный „престиж”, определяемой институциональной матрицей. Условно назовём её институциональным привлекательностью.

V. На каждом этапе соперник j стремится приобрести такую долю ресурса , от которой рассчитывают получить максимальную выгоду (осуществляет Блок IV).

VI. На каждом этапе субъект j авансирует часть своего ресурса на соперничество, т.е. обеспечивает институциональную безопасность. Его расход определяет долю приобретаемого ресурса и не может быть каким-либо образом возвращён и компенсируется из дохода только будущего периода (осуществляет Блок IV).

VII. В случае если один из соперников не может компенсировать свои расходы в процессе соперничества, он навсегда выбывает из борьбы.

VIII. В процессе соперничества субъекты не могут вступать в сговор между собой.

IX. С изменением числа соперников система продолжает функционировать до тех пор, пока не остаётся только один победитель. В этом случае она переходит в новое качество, т.е. происходит катастрофа.

Физический объем полученного ресурса и выгоду субъекта j в ходе разового цикла j определяется формулами:

и

Предлагаемая модель является в некотором смысле универсальной, поскольку соответствует определению VSM и может быть использована при анализе конкурентного раздела рынка[482 - Царьков О.Е. Оперативноe управление производством, ориентированным на потребительский спрос], выработке стратегии избирательной кампании, прогнозировании результатов военно-полтического противостояния и т.д. Для адаптации модели только следует ввести универсальные единицы измерения[483 - доллары, голоса, штыки и т.п.], задать соответствующие параметры ресурса[484 - Количество проданной продукции, мест в парламенте, размеры захваченной территории], соотнести его с затратами и дать точное определение его престижа[485 - Например, в случае экономической конкуренции это может быть качество товара, политической – привлекательность программы и степень коррупции, военной – уровень подготовки войск, их моральный дух и логистическое обеспечение]. При рассмотрении модели соперничества вождеств/ сложных вождеств, в качестве ресурса может выступать продукт (земля), выгодой – количество продовольственных пайков (число жителей или домохозяйств), а доходностью – урожайность (зерно). В то же время при анализе военных событий институциональная привлекательность может быть интерпретирована как военный престиж (слава и/или способность к экспансии), а участие в соперничестве – военный потенциал (численность войск).

Исходя из того, что каждый соперник стремится максимизировать свою выгоду на каждом этапе соперничества, получаем следующее соотношение:

или        (7)

Как правило, информация о действиях соперника недоступна или сильно искажена. Поэтому при следующем витке конфронтации каждый её участник формирует свою стратегию на базе предыдущего опыта, т.е. использует обратную связь (Блоки II-IV ). Таким образом, для участника j на итерации m она выглядит, как:

(7*)

Для упрощения анализа введём суммарную характеристику всех стратегий:

(8)

Область определения этой суммы – множество положительных чисел (), поскольку в обратном случае соперничества просто не возникает. Вследствие этого итерационная процедура (7) принимает вид: