Математическое моделирование исторической динамики

„Короля делает свита”(Н. Маккиавелли)

Гипотеза о самоосуществлении нации и цивилизации (§19) подтверждается схожестью институциональных матриц передовых наций современности. В частности, их модели функционирования и способы оптимизации результатов, в том числе через религию, указывают на более успешный и продуктивный выбор modus operandi по сравнению с отстающими или погибнувшими цивилизациями.

Независимо от своего размера и успешности, каждая этносоциальная система в своём развитии обычно проходит шесть последовательных стадий:

формирование этнического ядра, сопровождаемое широкими контактами с внешней средой;

соперничество, в котором этническая система достигает доминирования в пределах среды обитания или погибает под ударами конкурентов;

период упорядочения внутрисистемных связей, который может сопровождаться бифуркацией – распадом на несколько систем;

золотой век – инерционная фаза;

стагнация и упадок;

катастрофа в точке ветвления.

Математические модели для первых трёх фаз в отдельности были подробно рассмотрены в III-V частях. Там же были выявлены существенные ограничения для функционирования системы и тенденции, ведущие к её краху. Все они отображены в ИИМ в виде формальных моделей, устанавливающих ограничения. Его ячейки представляют собой отображения отдельных элементов системы на момент её упорядочения. Таким образом, институциональная матрица может быть описана в виде оператора эволюции системы, который на шаге преобразует одну совокупность функций в другую, т.е.. В случае их линейности[825 - В случае, когда некоторые функциональные элементы матрицы являются нелинейными комбинациями параметров, имеет место нелинейность матрицы ИИМ и, как следствие, её оператора] её детерминант может быть представлен в виде параллелепипеда, построенного на векторах , а его собственное значение может быть использована как количественная характеристика эффективности[826 - Частный случай – матрица межотраслевого баланса Леонтьева. Leontief W., jun. Die Bilanz der russischen Volkswirtschaft. Eine methodologische Untersuchung // Weltwirtschaftliches Archiv. – 1925. – Bd.22, H.2 (Oktober)  (https://www.digizeitschriften.de/download/PPN345575296_0022/PPN345575296_0022___log121.pdf)] конкретной институциональной матрицы.

В предыдущих частях по отдельности рассматривались взаимосвязи различных параметров, составляющих интегратор . Для них в §§18, 21-25, 27, 29, 32-36, 38-40 были определены функции и допустимые ограничения, позволяющие удерживать систему ? на эволюционной траектории в фазовом пространстве . На основании полученных результатов составим – динамический оператор, который определяет её положение в момент времени ?t.

ТАБЛИЦА VII. Оператор ИИМ

На эволюционной траектории параметры таблицы VII, находясь в устойчивых или квазиустойчивых состояниях, за интервал ?t практически не меняются, чем обеспечивают равновесное состояние системы ? и позволяют предсказать её координаты. При ?t=1 получаем:

(58.1).

Если к множеству всех собственных векторов оператора присоединить нулевой вектор, то получится подпространство пространства . Поскольку пространство инвариантно ( т.е. оператор преобразует пространство его само в себя), система векторов, составленная из базисов собственных подпространств оператора , также является его базисом. Действующий в нём оператор удовлетворяет критерию диагонализируемости[827 - Т.е. существует базис, в котором его матрица диагональна] и имеет базис из собственных векторов . В таком случае его можно представить в форме . Решив уравнение , можно через определитель характеристической матрицы вычислить собственные значения:

(58.2).

Корни многочлена (59) представляют собой характеристические корни оператора системы ? , которая в случае их определения может быть представлена в виде диагональной матрицы:

Каждый из характеристических корней характеризует привлекательность системы с геофизической (), социально-экономической() и ментально-культурной() стороны. Совместно они формируют институциональный престиж – качественную характеристику социально-экономической системы ? в конкретной точке эволюции t. Так как система и её элементы изоморфны[828 - В VSM-моделях этому соответствует эффект синхронизации подсистем], их характеристические многочлены совпадают[829 - См. теорема о многочленах подобных матриц], следует использовать метод индукции для количественной и качественной оценки всех подсистем. Величина вектора по модулю характеризует скорость развития этносоциальной системы (пассионарность) в момент подъёма и определяется выражением:

(59.1).

Таким образом, характеристические корни оператора представляют собой стороны институциональной матрицы (см. схему 1). Они определяют однозначность выбора траектории этносоциальная система, что объясняет детерминизм решений подсистемой управлениия (§5). Во время подъема состояние равновесия поступательно перемещается „вверх” по траектории, что определяет линейность оператора. Определённые, но предсказуемые колебания параметров ИИМ гасятся за счёт контакта внешней средой. Таким образом, её определитель и собственные вектора характеризуют сбалансированность геофизической, хозяйственной и информационной составляющихсоциально-экономической системы.

Динамическую модель этносистемы на инерционной фазе в момент времени t при размере можно представить в виде неправильного тетраэдра[830 - Треугольная пирамида, у которой вершина не обязательно проецируется в центр основания, а стороны и углы треугольника, лежащего в её основани могут быть не равными между собой], стороны которого пульсируют вследствие системных флуктуаций. Его основанием является институциональная матрица, а детерминат, как указатель направления движения, – высотой. Она изображена на схеме 12 и может принимать различные формы в зависимости от размеров основания. Его конфигурация во многом определяет поведение системы в начале эволюционной траектории.

Схема 12. Этносоциальная пирамида в конкретный момент времени t в окрестности состояния равновесия.

Чем выше высота пирамиды, тем она кажется внушительной, а, следовательно, институционально болеее привлекательной. Вместе с тем в случае, если одна из сторон основания окажется очень короткой[831 - один из характеристических корней окажется близок к 0] и слишком длинной[832 - Сумма двух характеристических корней будет незначительно больше третьего], она может потерять устойчивость и „опрокинуться”. Таким образом, площадь институциональной матрицы Поланьи-Норта, лежащей в основании тетраэдра, должна быть максимально большой. Её величина определяется по формуле, как площадь треугольника:

, где = (59.2).

Другой характеристикой институциональной устойчивости является значение радиусf окружности, вписанной в основание. Он равен:

(59.3).

Выражения (59.2) и (59.2) достигают своего максимального значения в случае, если все собственные значения оператора равны, т.е., т.е при гармоничном развитии всех трёх составляющих общественностой системы и . В то же время как выражение (59.1) при этих значениях будет равен . Отсюда следует, что минимальная хрупкость системы зависит от собственного значения определителя и равняется ., а институциональная устойчивость принимает значение . Из (29.1-2) следует, что для системы в состоянии равновесия в каждый момент времени t должно выполняться неравенство:

(29.3).

По мере развития этноса происходит изменение площади институциональной матрицы Поланьи. Это вызвано тем, что собственные значения оператора ИИМ меняются во времени и пространстве вместе со значением . В акматической фазе возникает олигархия, а значения оператора попадают в окрестность состояния равновесия и полностью предсказуемы (см. §§22-24). При нормировании показателя социальной привлекательности (). получаем, что необходимым условием явдляется выполнение соотношения:

, где (29.4).

Сравнение характеристических корней институциональных матриц систем ? и ?*, принадлежащих различным субэтносам или конкурирующим элитам, позволяет определить их векторы преимущественного развития и *. Они дают возможность выявить области соприкосновения интересов и зоны потенциальных конфликтов. Степень их разнонаправленности в пространстве и времени теоретически позволяют предсказать результат их борьбы за ресурс при условии отсутствия влияния внешней среды. Элемент неопределённости (случайность события и/или его сила), действующий извне, независимо от природы своего происхождения часто оказывается решающим фактором для разрушения квазизакрытых систем.

§45. СЛИЯНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ИМ

“Sic Parvis Magna”[833 - Великое начинается с малого]

Удержание этносоциальной системы на эволюционной траектории всегда сопровождается колебаниями внешней границы системы, где идёт перманентная война между этниями. В тех случаях, когда определитель ИИМ одного из них был больше, чем у соседа, граница сдвигалась по мере упорядочения ядра системы[834 - Drang nah Osten, Реконкиста, Византия при Македонской династии, османы до 1529 г., Московия при Рюриковичах]. Такое расширение на инерционной фазе укрепляло жизнеспособность системы, позволяя ей сохранять свою целостность. В тех случаях, когда этого не происходило, этния замыкалась и медленно стагнировала, растрачивая свои ресурсы на поддержание прежнего порядка в ущерб технологическому развитию.

На инерционной фазе жизнеспособная этническая система занимает своё естественное пространство (§38) и завладевает всем доступным ресурсом. Из 29.3. следует, что для коррекции её траектории подсистема управления имеет возможность регулировать два параметра ИИМ[835 - долю элиты (количество ЕО по отношению к КВ) и уровень эксплуатации (долю ресурса, подлежащей редистрибуции)]. Изменение поведения и интересов КВ и ЕО при разных уровнях эксплуатации иллюстрирует таблица VIII.

ТАБЛИЦА VIII. Поведение элиты (КВ) и производительных элементов системы (ЕО) при разной степени эксплуатации

Режим

Элита и обслуживающий персонал (КВ)

Производственные элементы системы (ЕО)

КВ обеспечивает свой статус и рост

ЕО сохраняет часть избыточного продукта для дальнейшего роста

,

КВ неограниченно растёт и обеспечивает свой статус и дальнейший рост за счёт запасов ЕО

На нулевом цикле возникает голод. Часть ЕО вымирает или мигрирует, рост недовольства

,

КВ озабочен своим статусом

ЕО прекращают расширенное воспроизводство

,

У КВ возникает проблема статуса, возникает опасность извне, вплоть до гибели КВ

Снижение численности ЕО за счёт невозможности воспроизводства, миграции или маргинализации